Question

sei f(x)= x^3+e^x mit f: R->R

Beweisen sie, dass die Funktion bijektiv ist

Comments

Betrachte doch mal \(f'(x)\). Kannst du damit

die Injektivität begründen?

Bei der Surjektivität ist es nützlich,

\(\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x) \text{ und } \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) \)

zu bestimmen.

Answer 1

f ' (x) = 3x^2 + e^x ist immer größer 0,

also f streng monoton steigend ==>  f injektiv.

Außerdem sind die Grenzwerte für x gegen ±∞

auch ±∞, also f als stetige Funktion surjektiv.

Comments

Bei uns im Skript haben wir das so aber glaube ich noch nicht ganz bewiesen, da darf ich das nicht anwenden.

Ich hatte versucht über die Umkehrfunktion ranzugehen... hab da allerdings keine Idee

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Was darfst du nicht anwenden?
Das Injektivitätsargument oder das Surjektivitätsargument?

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Frage:

Warum genügt es nicht zu zeigen, dass f(x) streng monoton steigend ist?

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Ich bin mir nicht sicher, aber ich glaube beides.

Zumindest kann ich mich nicht erinnern, dass so in VL gehört zu haben

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@Gast2016: \(\arctan\) ist streng monoton steigend, aber
nicht surjektiv.

Oder hast du diese Frage an den Fragesteller gestellt ?

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Also ich brauch für eine folgende Aufgabe eh die Umkehrfunktion. Also wäre es ja ziemlich praktisch, wenn ich hier die Umkehrfunktion bestimme um die Bijektivität zu beweisen. Da würde ich mir einen Schritt sparen

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Danke, ermane, magister optime! :)

Von dir lerne ich immer gerne dazu.

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Ich kenne keine für dieses f aus elementaren Funktionen "leicht"

zu bestimmende Umkehrfunktion.

Aber nochmal zur Monotonie: das Kriterium mit der Ableitung

war sicher irgendwo dran.

Und beim Surjektivitätsargument benötigt man nur

den Zwischenwertsatz, der ganz sicher in der VL vorkam.

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Ahhh.. alles klar. Ich habs gefunden. Danke!