Bestimmen Sie \phi2022(v)

Question

Sei $V$ ein $\mathbb{R}$-Vektorraum mit Basis $B$. Sei weiter $\phi \in \mathcal{L}(V, V)$ mit der Darstellungsmatrix
$\mathcal{M}(\phi, B, B)=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$

Sei $v \in V \operatorname{mit} \mathcal{M}(v, B)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) .$ Bestimmen Sie $\phi^{2022}(v)$

Comments

Wozu braucht man $A$ ?

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Sorry, das habe ich aus Versehen drauf gelassen. Nein, A brauchte man nur bei den vorherigen Aufgaben, die ich gemacht habe

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Berechne doch mal bitte $\phi(v), \phi^2(v),\phi^3(v),...$ und schau mal, ob Du etwas entdeckst.

Answer 1

Es ergibt sich durch Matrixmultiplikation
$\begin{aligned} \mathbf{M}^{2}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right]=\mathbf{A}\end{aligned}$
Weiterhin ist
$\begin{aligned} \mathbf{M}^{4}=\mathbf{A}^{2}=4 \mathbf{A}\end{aligned}$
was du vielleicht in einer vorherigen Aufagabe zeigen solltest. Nun kannst du $\mathbf{M}^{2022} = \mathbf{A}^{1011}$ schreiben und wiederholt $\mathbf{A}^2 = 4\mathbf{A}$ verwenden.