Bestimmen Sie \phi^{2022}(v)

Question

Sei \( V \) ein \( \mathbb{R} \)-Vektorraum mit Basis \( B \). Sei weiter \( \phi \in \mathcal{L}(V, V) \) mit der Darstellungsmatrix
\(\mathcal{M}(\phi, B, B)=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right) \quad \text { und } \quad A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \)

Sei \( v \in V \operatorname{mit} \mathcal{M}(v, B)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) . \) Bestimmen Sie \( \phi^{2022}(v) \)

Comments

Wozu braucht man \(A\) ?

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Sorry, das habe ich aus Versehen drauf gelassen. Nein, A brauchte man nur bei den vorherigen Aufgaben, die ich gemacht habe

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Berechne doch mal bitte \(\phi(v), \phi^2(v),\phi^3(v),...\) und schau mal, ob Du etwas entdeckst.

Answer 1

Es ergibt sich durch Matrixmultiplikation
\(\begin{aligned} \mathbf{M}^{2}=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right]=\mathbf{A}\end{aligned} \)
Weiterhin ist
\(\begin{aligned} \mathbf{M}^{4}=\mathbf{A}^{2}=4 \mathbf{A}\end{aligned} \)
was du vielleicht in einer vorherigen Aufagabe zeigen solltest. Nun kannst du \(\mathbf{M}^{2022} = \mathbf{A}^{1011}\) schreiben und wiederholt \(\mathbf{A}^2 = 4\mathbf{A}\) verwenden.