Aufgabe: Oberhalb der Gerade g fährt ein Auto mit der Geschwindigkeit v_1 und unterhalb der Geraden g mit der Geschwindigkeit v_2.
Zeige: Der Zeitaufwand der Strecke im folgenden Bild ist minimal, wenn v_1*sin(φ_2)=v_2*sin(φ_1)
Problem/Ansatz:
Ich habe schon ganz schön viel probiert. Meine zwei besten Ansätze, die aber beide nicht geklappt haben, waren diese:
1. Die Strecke versucht vektoriell aufzuschreiben und dann abzuleiten, da ja der Zeitaufwand minimal wird, wenn die Strecke minimal wird. Also:
s = (\( \begin{pmatrix} v_1*cos(180°-φ_1)\\v_1*sin(180°-φ_1) \end{pmatrix} \) * t + (\( \begin{pmatrix} v_2*cos(180°-φ_2)\\v_2*sin(180°-φ_2) \end{pmatrix} \) * t
Nach Ableiten und Umformen komme ich auf v_1=-v_2. Einsetzen in s ergibt:
s=v_1*t + v_1 * \( \sqrt{-cos(2φ_2} \) * t
Hilft mir aber irgendwie nicht weiter.
2. Da ich weiß, dass die Geschwindigkeit die Fläche unter der Strecke ist und die Zeit minimal ist, wenn die Geschwindigkeit maximal wird, habe ich versucht die Fläche aufzustellen:
A=1/2 * a_x * a_y + 1/2 * b_x * b_y, wobei a_, b_ jeweils die Koordinaten in x- bzw. y-Richtung der Dreiecke sind. Aber da ich zu wenig Informationen habe, was a_x und a_y sein soll, hilft mir das auch nicht weiter.
Irgendjemand eine Idee? :)
(Tipp: Ist eine Aufgabe im Zuge eines Analysis Kurses über Differenzierbarkeit, also sollte wohl keine großen physikalischen Grundkenntnisse erfordern und irgendetwas mit Ableiten zu tun haben.)
