Faktorisieren dreigliedriger Ausdrücke

Question

Folgende Aufgabe zum Faktorisieren aus dem Mathebuch meiner Tochter:

9c^{2}-36c+32

Ergebnis: (3c-8)*(3c-4)

Wie komme ich ohne laienhaftes ausprobieren systematisch zu diesem Ergebnis?

Laut Buch ist der Koeffizient a+b=(-36) und das Absolutglied a*b=32

Eine weitere einfachere:
y^2+8y+15
Ergebnis: (y+3)*(y+5) denn
a+b=8 und a*b=15 also y^2+3y+5y+3*5
Mich interessiert wie gesagt eine systematischer Ansatz, um a und b zu finden. Auch dann, wenn die Zahlen mal nicht so übersichtlich offensichtlich sind.

Answer 1

Laut Buch ist der Koeffizient a+b=(-36) und das Absolutglied a*b=32

Das a + b nicht -36 ergibt kann man leicht nachprüfen

9·c^2 - 36·c + 32

Was immer geht, wäre die Nullstellenberechnung mittels der abc-Formel, pq-Formel oder quadratische Ergänzung. Das beherrscht auch jeder etwas bessere Taschenrechner.

9·c^2 - 36·c + 32 = 0 --> c = 8/3 ∨ c = 4/3

Damit hat man eine Faktorzerlegung

9·c^2 - 36·c + 32 = 9·(c - 8/3)·(c - 4/3)

Jetzt kann man noch 9 = 3·3 in die Klammern ziehen

= (3·c - 8)·(3·c - 4)

y^2 + 8y + 15

Für quadratische Terme, bei denen vor dem quadratischen Term kein Faktor steht, kann man ebenso die Nullstellen ausrechnen. Hier geht evtl. auch der Satz von Vieta.

Wir suchen ein a und b, sodass gilt a*b = 15 sowie a + b = 8. Das sind hier 5*3 = 15 sowie 5 + 3 = 8

Damit lautet die Faktorzerlegung

y^2 + 8y + 15 = (y + 5)(y + 3)

Comments

Ja, so weit war ich auch schon. Merkwürdig nur, daß im Mathebuch Nullstellen, quadratische Ergänzung etc. erst viel später kommen. Ich dachte, es gäbe vielleicht eine andere Methode, die ich noch nicht kenne.

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9·c^2 - 36·c + 32

Man kann hier die 9 ausklammern.

9·(c^2 - 4·c + 32/9)

Auch hier kann man jetzt den Satz von Vieta anwenden

a * b = 32/9
a + b = -4

Wir finden mit etwas Übung: a = -8/3 und b = -4/3

Damit gilt

9·(c^2 - 4·c + 32/9) = 9·(c - 8/3)·(c - 4/3)

Auch hier zieht man 9 wieder in die Klammern

9·(c - 8/3)·(c - 4/3) = (3·c - 8)·(3·c - 4)

Aber ich weiß, wie schwer das als Schüler ist. Ich habe damals auch Lösungen nicht so direkt gesehen. Daher empfehle ich dann das rechtzeitige Lernen der allgemeinen Berechnung von Nullstellen.

Answer 2

Hallo,

wenn du die Nullstellen bestimmen kannst, hast du die Linearfaktoren schon fast richtig.

9c²-36c+32 = 0

9(c²-4c+32/9)=0

c²-4c+32/9=0

c=2±√(4- 32/9)=2 ± 2/3

c=4/3 oder c=8/3

--> 9c²-36c+32 = 9•(c-4/3)•(c-8/3)

Jetzt kann noch jede Klammer mit 3 multipliziert werden.

 9•(c-4/3)•(c-8/3)

=  3•(c-4/3)•3•(c-8/3)

=(3c-4)•(3c-8)

Answer 3

Hallo;

man hat zwei Gleichungen und 2 Unbekannte, damit kann man das System lösen

    a+b=8     a= 8-b   unten einsetzen

   a*b=15       ->    (8-b) *b = 15

                               8b -b² = 15

                       -b² +8b -15 = 0      | -(-1)

                        b² -8b +15 = 0   

                         b_1,2 =  4± \( \sqrt{16-15} \)

                      b ₁  = 4+1 = 5       b₂  = 4-1   = 3

              für a erhält man   8-5 = 3     8-3 =5

            folglich sind die Lösungen { 3 | 5 }

Answer 4

a) 3c ist offensichtlich, jetzt brauchst du noch zwei Zahlen, deren Produkt 32 ergibt.

Dafür gibt es nur 3 Möglichkeiten: 1 und 32, 16 und 2 und 8 und 4

Mit etwas Probieren kommt man schnell auf -8 und -4.

vgl. Satz von Vieta

b) y^2+8y+15

(y+3)(y+5), mit Vieta (falls bekannt)