nicht gleich null sein, also wie kommt es zu der Gleichheit?

Question

Aufgabe:

Wähle I \( =[0, x] \) mit \( \left.x \in] 0, \frac{\pi}{2}\right] \).
sin (z) ist auf I differenzierbar. Deshalb existiert nach dem Mittelwertsatz ein \( \left.x_{0} \in\right] 0, x[\mathrm{mit} \)
\( \frac{\sin (x)-\sin (0)}{x-0}=\frac{\sin (x)}{x}=\cos \left(x_{0}\right) \)
Da der Kosinus beschränkt ist, gilt für alle \( \left.\left.x_{0} \in\right] 0, x[\subset] 0, \frac{\pi}{2}\right] \)
\( 0 \leq \cos \left(x_{0}\right)<1 \)
(2)
Also erhalten wir wegen (1) und (2)
\( \frac{\sin (x)}{x}<1 \)
(3)

Problem/Ansatz:

Ich bin hier auf eine Lösung gestoßen zu dem Beweis, dass sin(x) < x ist, ich wundere mich allerdings
wie cos(x0) größer gleich null sein kann, wenn doch gilt, dass
x0 zwischen 0 und x liegt und nicht x annehmen kann. Also wenn x gleich
pi/2 sein sollte kann x0 nicht gleich dem x sein und deshalb kann cos(x0)
nicht gleich null sein, also wie kommt es zu der Gleichheit?

Answer 1

Also wenn x gleich pi/2 sein sollte

dann sagt der Mittelwertsatz

\( \frac{\sin (\frac{\pi}{2})-\sin (0)}{\frac{\pi}{2}-0}=\frac{\sin (\frac{\pi}{2})}{\frac{\pi}{2}}=\frac{2}{\pi}=\cos \left(x_{0}\right) \)

Also xo ungefähr 0,88.

Comments

Hallo,

und wie kommt es dazu, dass cos(x0) >= 0 ist, wenn das x0 doch nur zwischen (0, x) liegen kann. Wenn also x = pi/2 ist, dann liegt x0 zwischen (0, pi/2) und es kann nicht cos(x0) = 0 gelten, da x0 nicht pi/2 sein kann, oder?

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Ja mir ging es eher darum, dass cos(x0)=0 ist und es kann doch nur null sein wenn x0 = pi/2 ist, also wie kann man behaupten, dass cos(x0) >= 0 ist, das gleich verwundert mich. X0 kann doch gar nicht pi/2 sein .

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"Größer oder gleich 0" ist doch

erfüllt, wenn "größer" stimmt.

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Achso okay ,vielen dank