n • (n^2 + 2), ist n durch 3 teilbar?

Question

Aufgabe:

n • (n^2 + 2)

Problem/Ansatz:

Guten Tag, heute meine informatik/mathe lehrerin hat mir die aufgabe die oben steht, gegeben. Ich soll herausfinden ob n durch 3 teilbar ist. Wie mache ich das?

Comments

Wie mache ich das?

Betrachte die drei möglichen Reste, die n bei Division durch 3 lassen kann.

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Alternativ:  \(\displaystyle\dfrac{n\cdot(n^2+2)}3=n^2+2\cdot\binom n3\in\mathbb Z\).

Answer 1

Ich soll herausfinden ob n durch 3 teilbar ist. Wie mache ich das?

Das kannst du mit vollständiger Induktion machen. Weißt du wie das geht oder brauchst du Hilfe?

Zu zeigen

n^3 + 2·n ist durch 3 teilbar

Induktionsanfang: n = 0

0^3 + 2·0 ist durch 3 teilbar
0 ist durch 3 teilbar
wahr

Induktionsschritt: n → n + 1

(n + 1)^3 + 2·(n + 1) ist durch 3 teilbar
n^3 + 3·n^2 + 3·n + 1 + 2·n + 2 ist durch 3 teilbar
n^3 + 3·n^2 + 5·n + 3 ist durch 3 teilbar
n^3 + 2·n + 3·n^2 + 3·n + 3 ist durch 3 teilbar
(n^3 + 2·n) + 3·(n^2 + n + 1) ist durch 3 teilbar
n^3 + 2·n ist wegen der Induktionsvoraussetzung durch 3 teilbar
3·(n^2 + n + 1) ist durch drei teilbar weil ein Faktor 3 ist.

Answer 2

\(n(n^2+2)=n^3+2n\) ist durch 3 teilbar, wenn

\(m:=n^3+2n-3n\) durch 3 teilbar ist; denn wenn man eine

ganze Zahl um ein Vielfaches von 3 abändert, ändert sich an der

Teilbarkeit durch 3 nichts.

Nun ist \(m=n^3-n=(n-1)n(n+1)\). Von drei aufeinander folgenden

ganzen Zahlen ist eine durch 3 teilbar, also ist \(m\) durch 3 teilbar.