Ableiten einer Funktion (Quotienten- und Kettenregel zusammen)

Question

Folgende Funktion soll ich ableiten:
$$ \frac{5x-6}{(3x+1)^2} $$
Normalerweise würde ich hier direkt die Quotientenregel anwenden, allerdings will es so nicht ganz funktionieren. Ich habe schon an die Kettenregel für den Nenner gedacht, weiß aber nicht, wie ich beides zusammen rechnen soll.
Wäre also nett, wenn jemand einen detaillierten Rechenweg vorrechnen könnte. Danke.

Answer 1

Hallo,

Produktregel:

\( f(x)=\frac{5 x-6}{(3 x+1)^{2}}=(5 x-6) \cdot(3 x+1)^{-2} \)

\( u=5 x-6 \quad v=(3 x+1)^{-2} \)
\( u^{\prime}=5 \qquad v^{\prime}=-6(3 x+1)^{-3} \)

\( f^{\prime}(x)=5 \cdot(3 x+1)^{-2}+(5 x-6)\cdot \left(-6)\cdot(3 x+1)^{-3}\right. \)

\(=\frac{5}{(3x+1)^2}-\frac{6\cdot (5x-6)}{(3x+1)^3}\)

\( =\frac{5(3 x+1)}{(3 x+1)^{3}}-\frac{6(5 x-6)}{(3 x+1)^{3}} \)

\( =\frac{15 x+5-30 x+36}{(3 x+1)^{3}} \)

\( =\frac{-15 x+41}{(3 x+1)^{3}} \)

Gruß, Silvia

Comments

u′=5v′=−6(3x+1)−3 u^{\prime}=5 \qquad v^{\prime}=-6(3 x+1)^{-3} u′=5v′=−6(3x+1)−3

Müsste bei v' nicht -3*(3x+1)^-3 stehen?

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Müsste bei v' nicht -3*(3x+1)^-3 stehen?

Nein. Du musst doch auch noch mit dem alten Exponenten -2 multiplizieren.

Benutze doch mal den von mir vorgeschlagenen Ableitungsrechner der das echt sehr kleinschrittig vormacht.

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Kettenregel: äußere mal innere Ableitung

innere Funktion \(f= 3x+1\qquad f'=3\)

äußere Funktion \(g=f^{-2}\qquad g'=-2f^{-3}\)

\(f'\cdot g'=3\cdot(-2)f^{-3}=-6f^{-3}=-6(3x+1)^{-3}\)

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@Silvia Dann wäre ja alles klar. Vielen Dank für die schnelle Antwort und den detaillierten Rechenweg.

@Der_Mathecoach Auch hier vielen Dank für die schnelle Antwort und für das verlinken des Onlinerechners. Ich kenne diesen Rechner bereits und nutze ihn ab und zu, um meine Rechenergebnisse zu kontrollieren. Leider ist der Rechenweg dieses Onlinerechners zu unübersichtlich für mich.

Answer 2

Quotientenregel ist prima

f(x) = (5·x - 6)/(3·x + 1)^2

f'(x) = (5·(3·x + 1)^2 - (5·x - 6)·2·(3·x + 1)·3) / (3·x + 1)^4
f'(x) = (5·(3·x + 1) - (5·x - 6)·2·3) / (3·x + 1)^3
f'(x) = (15·x + 5 - (30·x - 36)) / (3·x + 1)^3
f'(x) = (41 - 15·x) / (3·x + 1)^3

Comments

f'(x) = (5·(3·x + 1) - (5·x - 6)·2·3) / (3·x + 1)³

^{Ab diesem Schritt bin ich raus. Wie wurde da gekürzt und wieso ist im Nenner die Hochzahl reduziert?}

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Das ist doch falsch?? Da kommt -30x+59 / (3x+1)^4 raus

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Im Zähler wurde in der dortigen Subtraktionsaufgabe jeweils (3·x + 1) ausgeklammert.

Dieser Faktor wurde zum Kürzen des Bruchs verwendet. Der Nenner ist damit nicht mehr

(3·x + 1)^4, sondern nur noch (3·x + 1)^3.

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Das ist doch falsch?? Da kommt -30x+59 / (3x+1)^4 raus

Nein. Auch Silvia hat (mit einem anderen Weg) das richtige Ergebnis erhalten.

Wenn du den Bruch NICHT kürzt, müsste auch im Zähler ein quadratischer (und nicht nur ein linearer) Term entstehen.

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Benutze einfach https://www.ableitungsrechner.net/ zur Hilfe und Selbstkontrolle. Ich hatte bisher noch keine Ableitung, die der Ableitungsrechner falsch berechnet hatte. Aber man kann ja sonst noch andere Ableitungsrechner zur Kontrolle verwenden.

Answer 3

Habe meine Lösung entfernt, da die andere Antwort eher zielführend ist.

Lg

Comments

So etwas sollte man vermeiden, weil man sich so der Möglichkeit des Kürzens eines Faktors (3x+1) beraubt (bzw. dies erst nach einer aufwändigen Polynomdivision kann).

Dein Nenner ist jetzt im Prinzip (3x+1)^4.

Der Mathecoach kommt in seiner Lösung mit (3x+1)³ aus, und auch sein Zähler ist wesentlich übersichtlicher.

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Habe meine Lösung entfernt, da die andere Antwort eher zielführend ist.

Damit wird mein Kommentar

So etwas sollte man vermeiden, weil ...

für andere unverständlich.

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Oh, sorry, wusste nicht, dass auf meine Antwort bereits kommentiert wurde.

Also für die Leser nochmal:

Ich habe zunächst den nenner berechnet, heißt; (3x+1)² habe ich ausgerechnet mit (3x+1)×(3x+1). Danach habe ich die gewohnten Regeln angewendet: \( \frac{v'×u - v×u'}{u²} \)  und kam auf die Ableitung:

f'(x)= \( \frac{-45x²+108x+41}{(9x²+6x+1)²} \)

Ps: danke fürs korrigieren, Abakus! Bin jetzt auch schlau daraus geworden :))

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Danke fürs Wiederherstellen! So wird hoffentlich die Problematik auch für andere verständlicher.

Answer 4

weiß aber nicht, wie ich beides zusammen rechnen soll.

Das verlangt kein Mensch von dir. Mache es nacheinander.

Irgendwann im Verlauf der Aufgabe musst du den Nenner (3x+1)² ableiten.

Bilde jetzt gleich die Ableitung von (3x+1)² und notiere sie dir.

Wenn du dann im Rahmen der Quotientenregel diese Ableitung brauchst, hast du sie und kannst sie einsetzen.

Answer 5

f(x)=\(\frac{5x-6}{(3x+1)^2} \)

\( f^{\prime}(x)=\frac{5 \cdot(3 x+1)^{2}-(5 x-6) \cdot 2 \cdot(3 x+1) \cdot 3}{(3 x+1)^{4}} \)

\( f^{\prime}(x)=\frac{5 \cdot(3 x+1)-6 \cdot(5 x-6)}{(3 x+1)^{3}} \)

Hier gilt nicht der Spruch: Aus Differenzen und aus Summen kürzen nur die D....!

Nun den Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen.

Comments

Hier gilt nicht der Spruch: Aus Differenzen und aus Summen kürzen nur die D....!

Nun den Zähler ausmultiplizieren und zusammenfassen.

Dein missglücktes Statement könnte dazu führen, dass jemand so etwas zukünftig doch macht.

Hier wird aber erst einmal in einem vor dir unterschlagenen wesentlichen Schritt durch Ausklammern ein Produkt erzeugt, von dem dann ein Faktor gekürzt wird.

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Es wäre besser gewesen, den Spruch gleich nach der 2. Zeile anzubringen.