Aloha :)
Die Matrix lautet:\(\quad A=\frac13\left(\begin{array}{rrr}-1 & 2 & 2\\2 & -1 & 2\\2 & 2 & -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}-\frac13 & \frac23 & \frac23\\[1ex]\frac 23 & -\frac13 & \frac23\\[1ex]\frac23 & \frac23 & -\frac13\end{array}\right)\)
1) Bestimmung der Eigenwerte
$$0\stackrel!=\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}-\frac13-\lambda & \frac23 & \frac23\\[1ex]\frac 23 & -\frac13-\lambda & \frac23\\[1ex]\frac23 & \frac23 & -\frac13-\lambda\end{array}\right)$$Aus jeder Reihe (= Zeile oder Spalte) kann man einen Faktor vor die Determinante ziehen. Das ist so eine Art ausklammern. Wir können aus jeder Zeile den Faktor \(\frac13\) "ausklammern" und vor die Determinante ziehen:$$0\stackrel!=\frac13\cdot\frac13\cdot\frac13\cdot\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}-1-3\lambda & 2 & 2\\ 2 & -1-3\lambda & 2\\2 & 2 & -1-3\lambda\end{array}\right)$$
Man kann ein Vielfaches einer Reihe zu einer anderen Reihe addieren bzw. subtrahieren, ohne dass sich der Wert der Determinante ändert. Das nutzen wir aus, um möglichst viele Nullen zu generieren. In der angegebenen Lösung wurde Zeile 2 von Zeile 1 und von Zeile 3 subtrahiert:$$0\stackrel!=\frac{1}{27}\cdot\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}-3-3\lambda & 3+3\lambda & 0\\ 2 & -1-3\lambda & 2\\0 & 3+3\lambda & -3-3\lambda\end{array}\right)$$Jetzt geht die Lösung oben nicht weiter. Ich würde nun die 3-te Spalte zur 2-ten Spalte addieren:$$0\stackrel!=\frac{1}{27}\cdot\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}-3-3\lambda & 3+3\lambda & 0\\ 2 & 1-3\lambda & 2\\0 & 0 & -3-3\lambda\end{array}\right)$$Die 1-te Spalte addieren wir noch zur 2-ten Spalte:$$0\stackrel!=\frac{1}{27}\cdot\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}-3-3\lambda & 0 & 0\\ 2 & 3-3\lambda & 2\\0 & 0 & -3-3\lambda\end{array}\right)$$und können die Determinante nun nach der ersten Zeile entwickeln:$$0\stackrel!=\frac{1}{27}(-3-3\lambda)(3-3\lambda)(-3-3\lambda)=\frac{1}{27}(3+3\lambda)^2(3-3\lambda)=(1+\lambda)^2(1-\lambda)$$
Wir haben also den doppelten Eigenwert \(\lambda=-1\) und den einfachen Eigenwert \(\lambda=1\).
2) Bestummung der Eigenvektoren
Kriegst du diesen Schritt alleine hin? Falls nicht, frag einfach nochmal nach.
Ein Tipp: Jede Zeile in der Matrix ergibt dieselbe Summe, daher muss \((1;1;1)^T\) ein Eigenvektor sein.
