Vereinigung von Unterräumen

Question

Aufgabe:

Hallöchen,

U1 ∪ U2 = V , dann ist U1 = V oder U2 = V     Voraussetzung

Hinweis: Zeigen Sie zuerst: U1 ∪ U2 = V , dann ist U1 ⊂ U2 oder U2 ⊂ U1. UM ZU BEWEISEN , DASS p ODER q GILT, NIMMT MAN AN, DASS p NICHT GILT UND ZEIGT q.

Problem/Ansatz:

… Den ersten Teil habe ich bereits beweisen. Beim zweiten Teil bin ich mich aber unsicher, da ich ähnlich vorgegangen bin:

Beweis durch Widerspruch

Es gilt : U1 = V , U2 ≠ V und U2⊂U1⊂V

Annahme: U1≠ V ; U2 = V

Sei v1 ∈ U1, dann gibt es ein v1∉ V. Ebenso gibt es ein w2 ∈ U2 mit w2 ∈ V.

Es müssen für Elemente aus U1 ∪ U2 die Vektorraumkriterien gelten ( Voraussetzung ) :

v1 + w2 ∈ U1 ∪ U2 = V und da - w2 ∈ U2 muss auch gelten v1 + w2 ∉ V. Widerspruch

Es muss also gelten v1 + w2 ∈ V und U1 = V und U2 ≠ V.

Keinen Plan, ob dass Sinn ergibt und würde mich deshalb über Hilfe echt freuen! Danke im Voraus.

Comments

Bin jetzt "überzeugt", dass das oben keinen Sinn macht...sorry

Sei u1 ∈ U1 , dann gibt es ein u1 ∈ V mit u1 ∈ U2. Zusätzlich gibt es ein u2 ∈ U2 mit u2 ∈ V.

U1 ∪ U2 ist Vektorraum, daher Kriterien:

u1 + u2 ∈ U1 ∪ U2, da auch u1 ∈ U1 ist auch - u1 ∈ U1 und somit muss gelten u1 + u2 - u1 ∈ U1 , wie oben schon gewählt ist u2 ∉ U1 und u1 + u2 ∉ U1.

Analog: u1 + u2 ∉ U2

Widerspruch

also U1 = V   bzw.   U2 = V

Answer 1

Zum 2-ten Teil:

Wenn du bereits \(U_1\subseteq U_2\) weißt, hast du

\(V=U_1\cup U_2\subseteq U_2\cup U_2=U_2\),

fertig !