Hallo,
a) ergänzen Sie die fehlenden Werte in der Tabelle
sollte kein Problem sein. Addiere zu der 'Anzahl Holzstäbe insgesamt' die 'neu hinzukommenden'. Also$$18+12=30 \\30 +15 = 45\\\begin{array}{c|}n&1& 2& 3& 4& 5\\\hline\Delta &3& 6& 9& 12& 15\\ f(n)&3& 9& 18& 30& 45\end{array}$$Wenn man die Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnet, so sieht das so aus:
https://www.desmos.com/calculator/rfvbrw0e0r
nach rechts ist der Index \(n\) aufgetragen und nach oben die 'Anzahl der Holzstäbe insgesamt' - also \(f(n)\). Ich habe die Punkte mit der roten Kurve verbunden. Diese Kurve ist eine Parabel. Es ist deshalb eine Parabel weil die Kurve in gleich großen Abständen immer um den gleich großen Anteil (hier \(3\)) mehr ansteigt. Man nennt das auch eine arithmetische Folge zweiter Ordnung.
Und die Gleichung für eine Parabel ist ganz allgemein$$f(x)= ax^2+bx+c$$wobei das \(x\) hier zum \(n\) wird also$$f(n)=an^2+bn+c$$\(a\), \(b\) und \(c\) sind die Koeffizienten und diese gilt es zu berechnen.
Dazu benötigt man z.B. drei Punkte der Kurve. Und der Einfachheit halber nehme ich den Punkt \((0,0)\) noch mit hinzu. Dann gilt$$(0,0) \implies f(0) = 0\\(1,3) \implies f(1) = 3 \\(2,9) \implies f(2) = 9$$Einsetzen in die Allgemeine Gleichung für die Parabel gibt$$f(0)= a\cdot 0^2 +b \cdot 0 + c = 0 \\f(1)= a\cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 3\\ f(2) = a\cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = 9$$Aus der ersten Gleichung folgt bereits, dass \(c=0\) sein muss. Dann bleiben$$a+b=3\\4a+2b=9$$Multipliziere die erste Gleichung mit \(2\) und ziehe sie von der letzten ab. Es bleibt$$2a=9-6 = 3 \implies a=\frac32$$Einsetzen in die erste Gleichung und Auflösen nach \(b\) ergibt dann$$\frac32 + b = 3 \implies b = 3 -\frac32 = \frac32$$Also ist die Formel für die 'Anzahl der Holzstäbe insgesamt'$$f(n) = \frac32 n^2 + \frac 32 n$$Überprüfe die Formel indem Du für \(n\) \(n=4\) und \(n=5\) einsetzt.
Gruß Werner
