DGL 2. Ordnung lösen - Störfunktionen

Question

Ich verstehe einfach nicht, wie man die partikulären Lösungen der DGL herausfindet:

Text erkannt:

Bestimmen Sie die allgemeinen Lösungen der folgenden Differentialgleichungen.
a)
\( y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+4 y=x \)
b)
\( y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=2 x e^{3 x} \)

Die homogenen Lösungen sind kein Problem. Die Störfunktionen jedoch schon... einmal hat man eine Polynomfunktion, das andere mal noch eine e-Funktion. Wie rechnet man die Partikuläre Lösung aus? Welches Rezept, welche Formel gibt es hierfür?

Answer 1

Hallo,

y''-5y'+4y=x

charakt. Gleichung: k^2 -5k +4=0

k₁=4

k₂=1

Ansätze siehe Link:

http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf

allgemein:

Form: \( \mathrm{y}^{\prime \prime}+\mathrm{a}_{1} \mathrm{y}^{\prime}+\mathrm{a}_{0} \mathrm{y}=\mathrm{g}(\mathrm{x}) \mathrm{mit} \mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{0}= \) const.

g(x) ist der Störterm

Punkt 2, 1.Zeile, 1.Fall , a₀≠ 0 ,da der Störterm nur bis x geht , erfolgt der Ansatz auch nur bis dahin.

->yp=C₀+C₁x

Für die 2. Aufgabe gilt:

Ist \( \mathrm{g}(\mathrm{x}) \) eine Summe/ein Produkt in der Tabelle enthaltener Funktionen, so ist als Ansatzfunktion ebenfalls eine Summe/ein Produkt solcher Funktionen anzusetzen.

Du mußt also von 2x und e^(3x) getrennt in Abhängigkeit von den Lösungen der charakt.Gleichung

die Ansätze bilden und addieren

yp=yp₁+yp₂

_{für den e-Term gibt es auch eine Formel:}

<sub>e^(3x):

allgemein gilt: yp= C x^k e^ (ax)

k ist die Vielfachheit:

man vergleicht dabei das a in dem Störterm , hier 3 , mit den Lösungen der charakt.Gleichung, hier 1 und 2.

Da keine Übereinstimmung vorliegt, ist die Vielfachheit 0. ->k=0

----> yp1= C x^0 e^(3x) =C e^(3x)

yp1=C1 *e^(3x)</sub>

_2x:

_yp=C0+C1x

_-------->

_yp=yp1+yp2