Hallo :-)
Am einfachsten ist es sich direkt einen Vektor der Form $$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix}\in \R^4$$ herzunehmen.
Jetzt schaust du dir die Bedingungen von der Menge \(W\) an, also:
\(x_1+3x_2+2x_4=0\) und \(2x_1+x_2+3x_3=0\).
Diese kannst du auch zu diesen Ausdrücken umstellen:
\(x_4=-\frac{1}{2}\cdot (x_1+3x_2)\) und \(x_3=-\frac{1}{3}\cdot (2x_1+x_2)\).
Das setzt du jetzt einfachmal in den obigen Vektor ein und du bekommst:
$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\-\frac{1}{3}\cdot (2x_1+x_2) \\ -\frac{1}{2}\cdot (x_1+3x_2) \end{pmatrix}$$
Jetzt musst du nur noch diesen Vektor ,,auseinander ziehen":
$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\-\frac{1}{3}\cdot (2x_1+x_2) \\ -\frac{1}{2}\cdot (x_1+3x_2) \end{pmatrix}=x_1\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{2} \end{pmatrix}+x_2\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-\frac{1}{3}\\-\frac{3}{2} \end{pmatrix} $$
Und weil mir hier die Brüche nicht gefallen, skalliere ich diese Vektoren einfach mit \(6\):
$$x_1\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{2} \end{pmatrix}+x_2\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-\frac{1}{3}\\-\frac{3}{2} \end{pmatrix}=6\cdot \alpha\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\-\frac{2}{3}\\-\frac{1}{2} \end{pmatrix}+6\cdot \beta\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-\frac{1}{3}\\-\frac{3}{2} \end{pmatrix}=\alpha\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\-4\\-3 \end{pmatrix}+\beta\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\-2\\-9 \end{pmatrix} $$
Dass diese ein Erzeugendensystem bilden kannst du allein aus der obigen Rechnung sehen, sodass du im Grunde nur noch deren lineare Unabhängigkeit zeigen musst.
