Warum fügt man eine Variable zu einer Gleichung hinzu und zieht diese Variable wieder von der Gleichung ab?

Question

Text erkannt:

\( \begin{aligned} 1-\beta &=P\left(\frac{\bar{Y}-\mu_{0}}{\sigma_{\bar{Y}}}>z_{1-\alpha}\right) \\ &=P\left(\frac{\bar{Y}-\mu_{0}+\mu-\mu}{\sigma_{\bar{Y}}}>z_{1-\alpha}\right) \\ &=P\left(\frac{\bar{Y}-\mu}{\sigma_{\bar{Y}}}>z_{1-\alpha}-\frac{\mu-\mu_{0}}{\sigma_{\bar{Y}}}\right) \\ &=P\left(Z>z_{1-\alpha}-d \sqrt{n}\right) \\ &=1-\Phi\left(z_{1-\alpha}-d \sqrt{n}\right) \end{aligned} \)

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen. Ich hätte eine mathematische Frage: warum fügt man (wie in der obigen Gleichung) eine Variable zu der Gleichung hinzu und zieht diese Variable dann wieder ab? Ich verstehe zwar, dass man das tut, um wie in der 3. Reihe neue Komponenten entstehen zu lassen (wie z.B. Effektstärke d). Aber dennoch verstehe ich nicht, warum das in der Mathematik Gang und Gäbe ist, das zu tun?

Auf eine Antwort würde ich mich sehr freuen :)

Answer 1

Ich verstehe zwar, dass man das tut, um wie in der 3. Reihe neue Komponenten entstehen zu lassen

Damit ist doch alles gesagt.

Ich fasse die zwei wesentlichen Punkte zusammen:

(1) +µ-µ hinzuzufügen ändert faktisch nichts am Wert des Terms.

(2) Die Maßnahme ist nützlich.

Das war's.

Answer 2

Das ist eine häufig angewandte Methode. Formal addierst Du 0 in der Form +a-a, das ändert den Wert des Terms nicht, und ist problemlos möglich. (Das Gleiche macht man oft auch mit *1 = *a:a)

Sinn ist, dass Du das +a und das -a aber jeweils mit einem anderen Teil des Term verrechnest und so das Ganze vereinfachen kannst.

Wenn Du Deinen Bruch anschaust, wird das eine \(\mu\) mit dem Y, das andere mit dem \(\mu_0\) zusammengenommen, dann wird der Bruch zerlegt und ein Teil auf die andere Seite gebracht.