Beide Winkel berechnen

Question

Aufgabe:

b=3cm, c=6cm, Alpha=90grad

Berechne die Seite a und die beiden nicht gegebenen Winkeln.

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht wie ich die beiden Winkeln berechnen soll. Bitte helfen

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Wenn es hier um ein Dreieck geht, dann solltest Du schreiben, dass es hier um ein Dreieck geht.

Answer 1

Aloha :)

Es handelt sich offensichtlich um ein rechwinkliges Dreieck. Die längste Seite ist hier \(a\), weil sie dem Winkel \(\alpha=90^\circ\) gegenüberliegt. Daher lautet der Satz des Pythagoras hier:$$a^2=b^2+c^2=3^2+6^2=9+36=45\implies a=\sqrt{45}=3\sqrt5$$

Bei den Winkeln helfen die Winkelfunktionen weiter:$$\sin\beta=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{b}{a}=\frac{3}{3\sqrt5}=\frac{1}{\sqrt5}\implies\beta=\arcsin\frac{1}{\sqrt5}\approx26,57^\circ$$Und das Wissen, dass die Winkelsumme im Dreieck gleich \(180^\circ\) beträgt:$$\gamma=180^\circ-\alpha-\beta=180^\circ-90^\circ-26,57^\circ=63,43^\circ$$

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Das ist zwar fachlich richtig, aber für taschenrechnergewohnte Schüler gefährlich.

Die Schüler werden animiert, zur Winkelberechnung das von ihnen berechnete a als Zwischenergebnis zu verwenden. Das birgt das Risiko, sich dabei zu verrechnet zu haben oder mit TR-Näherungswerten weiterzurechnen.

Bei der Entscheidung zwischen mehreren möglichen Lösungswegen sollte der Weg bevorzugt werden, der allen mit gegebenen Werten auskommt.

tan β = 3/6 wäre unter diesem Aspekt die bessere Wahl.

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Tan ist richtig und steht auch auf der Lösung drauf. Tan ist doch aber für die Gegenkathete und die Ankathete laut der Formel. 3 ist doch aber die Ankathete von a und c ist doch die Hypotenuse oder?

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Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. Wenn der rechte Winkel bei A ist, ist a die Hypotenuse.

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Ah okay danke. Das heißt b ist dann die Gegenkathete, weil sie gegenüber B liegt und c ist dann die Ankathete in diesem Fall.

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Deswegen habe ich extra nicht den Tangens gewählt. Die Hypotenuse ist klar, das ist die längste Seite. Und die Seite, die dem Winkel \(\beta\) gegenüberliegt, ist \(b\). Daher fand ich die Darstellung "Gegenkathete durch Hypotenuse" anschaulicher...

Aber ich bin kein Leerer, sondern schreibe die Aufgaben einfach so auf, wie ich denke. Die Fachleute wissen das bestimmt besser.

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Die Hypotenuse ist klar,

Die Fragestellerin meinte, das müsse ja c sein (weil die Hypotenuse nach Schülererfahrung ja immer c gewesen ist ...)

Answer 2

Für den Winkel β ist b die Gegenkathete und c die Ankathete.

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Geteilt dann?

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Verwende sin oder cos oder tan, für einen weiteren Winkel. Den dritten Winkel bekommst du über die innwinkelsumme.