Beide Winkel berechnen

Question

Aufgabe:

b=3cm, c=6cm, Alpha=90grad

Berechne die Seite a und die beiden nicht gegebenen Winkeln.

Problem/Ansatz:

Ich weiß leider nicht wie ich die beiden Winkeln berechnen soll. Bitte helfen

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Wenn es hier um ein Dreieck geht, dann solltest Du schreiben, dass es hier um ein Dreieck geht.

Answer 1

Aloha :)

Es handelt sich offensichtlich um ein rechwinkliges Dreieck. Die längste Seite ist hier $a$, weil sie dem Winkel $\alpha=90^\circ$ gegenüberliegt. Daher lautet der Satz des Pythagoras hier:$$a^2=b^2+c^2=3^2+6^2=9+36=45\implies a=\sqrt{45}=3\sqrt5$$

Bei den Winkeln helfen die Winkelfunktionen weiter:$$\sin\beta=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{b}{a}=\frac{3}{3\sqrt5}=\frac{1}{\sqrt5}\implies\beta=\arcsin\frac{1}{\sqrt5}\approx26,57^\circ$$Und das Wissen, dass die Winkelsumme im Dreieck gleich $180^\circ$ beträgt:$$\gamma=180^\circ-\alpha-\beta=180^\circ-90^\circ-26,57^\circ=63,43^\circ$$

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Das ist zwar fachlich richtig, aber für taschenrechnergewohnte Schüler gefährlich.

Die Schüler werden animiert, zur Winkelberechnung das von ihnen berechnete a als Zwischenergebnis zu verwenden. Das birgt das Risiko, sich dabei zu verrechnet zu haben oder mit TR-Näherungswerten weiterzurechnen.

Bei der Entscheidung zwischen mehreren möglichen Lösungswegen sollte der Weg bevorzugt werden, der allen mit gegebenen Werten auskommt.

tan β = 3/6 wäre unter diesem Aspekt die bessere Wahl.

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Tan ist richtig und steht auch auf der Lösung drauf. Tan ist doch aber für die Gegenkathete und die Ankathete laut der Formel. 3 ist doch aber die Ankathete von a und c ist doch die Hypotenuse oder?

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Die Hypotenuse ist die Seite, die dem rechten Winkel gegenüber liegt. Wenn der rechte Winkel bei A ist, ist a die Hypotenuse.

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Ah okay danke. Das heißt b ist dann die Gegenkathete, weil sie gegenüber B liegt und c ist dann die Ankathete in diesem Fall.

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Deswegen habe ich extra nicht den Tangens gewählt. Die Hypotenuse ist klar, das ist die längste Seite. Und die Seite, die dem Winkel $\beta$ gegenüberliegt, ist $b$. Daher fand ich die Darstellung "Gegenkathete durch Hypotenuse" anschaulicher...

Aber ich bin kein Leerer, sondern schreibe die Aufgaben einfach so auf, wie ich denke. Die Fachleute wissen das bestimmt besser.

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Die Hypotenuse ist klar,

Die Fragestellerin meinte, das müsse ja c sein (weil die Hypotenuse nach Schülererfahrung ja immer c gewesen ist ...)

Answer 2

Für den Winkel β ist b die Gegenkathete und c die Ankathete.

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Geteilt dann?

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Verwende sin oder cos oder tan, für einen weiteren Winkel. Den dritten Winkel bekommst du über die innwinkelsumme.