Aloha :)
Ich führe die Berechnung des Konvergenzradius anhand der letzten Teilaufgabe vor.$$p(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n\left((x+1)^3\right)^n\quad;\quad a_n\coloneqq\frac{5^n(3n^7+5n^2)}{7n^2-1}$$
Der Konvergenzradius ist der Grenzwert des Ausdrucks:$$\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{\frac{5^n(3n^7+5n^2)}{7n^2-1}}{\frac{5^{n+1}(3(n+1)^7+5(n+1)^2)}{7(n+1)^2-1}}=\frac{5^n(3n^7+5n^2)}{7n^2-1}\cdot\frac{7(n+1)^2-1}{5^{n+1}(3(n+1)^7+5(n+1)^2)}$$$$\phantom{\frac{a_n}{a_{n+1}}}=\frac{5^n}{5^{n+1}}\cdot\frac{3n^7+5n^2}{3(n+1)^7+5(n+1)^2}\cdot\frac{7(n+1)^2-1}{7n^2-1}$$$$\phantom{\frac{a_n}{a_{n+1}}}=\frac{5^n}{5^n\cdot5}\cdot\frac{\frac{1}{n^7}\left(3n^7+5n^2\right)}{\frac{1}{n^7}\left(3(n+1)^7+5(n+1)^2\right)}\cdot\frac{\frac{1}{n^2}\left(7(n+1)^2-1\right)}{\frac{1}{n^2}\left(7n^2-1\right)}$$$$\phantom{\frac{a_n}{a_{n+1}}}=\frac{1}{5}\cdot\frac{3+\frac{5}{n^5}}{3\left(\frac{n+1}{n}\right)^7+5\left(\frac{n+1}{n}\right)^2\cdot\frac{1}{n^5}}\cdot\frac{7\left(\frac{n+1}{n}\right)^2-\frac{1}{n^2}}{7-\frac{1}{n^2}}$$$$\phantom{\frac{a_n}{a_{n+1}}}=\frac{1}{5}\cdot\frac{3+\frac{5}{n^5}}{3\left(1+\frac1n\right)^7+5\left(1+\frac1n\right)^2\cdot\frac{1}{n^5}}\cdot\frac{7\left(1+\frac1n\right)^2-\frac{1}{n^2}}{7-\frac{1}{n^2}}$$$$\phantom{\frac{a_n}{a_{n+1}}}\stackrel{(n\to\infty)}{\to}\frac{1}{5}\cdot\frac{3+0}{3\left(1+0\right)^7+5\left(1+0\right)^2\cdot0}\cdot\frac{7\left(1+0\right)^2-0}{7-0}=\frac15\cdot\frac33\cdot\frac77=\frac15$$
Der Konvergenzradius ist also \(r=\frac15\).
Das Polynom konvergiert für alle \(x\), für die gilt:$$|(x+1)^3|<\frac15\implies -\frac15<(x+1)^3<\frac15\implies -\frac{1}{\sqrt[3]{5}}<x+1<\frac{1}{\sqrt[3]{5}}\implies$$$$-\left(\frac{1}{\sqrt[3]{5}}+1\right)<x<\left(\frac{1}{\sqrt[3]{5}}-1\right)$$
Die anderen beiden Teilaufgaben sind leichter und funktionieren nach demselben Prinzip. Die kriegst du bestimmt alleine hin. Falls nicht, bitte einfach nochmal hier nachfragen.
