Aloha :)
Wir vermuten, dass die Folge$$x_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}+1}$$gegen den Grenzwert \(x=0\) konvergiert. Zum Beweis betrachten wir:$$\left|x_n-x\right|=\left|\frac{1}{\sqrt{n+1}+1}-0\right|=\frac{1}{\sqrt{n+1}+1}<\frac{1}{\sqrt{n+1}}<\frac{1}{\sqrt n}$$Die beiden Kleiner-Abschätzungen gelten, weil ein Bruch größer wird, wenn wir seinen Nenner verkleinern.
Wir wählen nun ein \(\varepsilon>0\) beliebig aber fest aus und möchten zeigen, dass die obere Grenze für den obigen Betrag ab einem bestimmten \(n\) kleiner ist als dieses gewählte \(\varepsilon\):$$\frac{1}{\sqrt n}\stackrel!<\varepsilon\implies\sqrt n>\frac1\varepsilon\implies n>\frac{1}{\varepsilon^2}$$
Damit haben wir folgendes gezeigt:
Für alle \(\varepsilon>0\) gibt es ein \(n_0\coloneqq\left\lceil\frac{1}{\varepsilon^2}\right\rceil\), sodass für alle \(n\ge n_0\) gilt:$$\left|x_n-0\right|<\frac{1}{\sqrt n}<\varepsilon$$Daher konvergiert die Folge \((x_n)\) gegen den Grenzwert \(0\).
