P(A ∪ B) · P(A ∩ B) ≤ P(A) · P(B)

Question

Aufgabe:

Es seien Ω ein Ereignisraum und P : P(Ω) → [0,1] ein Wahrscheinlichkeitsinhalt
auf P(Ω) und A, B ∈ P(Ω). Zeigen Sie:

P(A ∪ B) · P(A ∩ B) ≤ P(A) · P(B).

Bitte helft mir. Ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr weiter.

Answer 1

Hallo,

es geht, wenn Du alle auftretenden Mengen in disjunkte Teilmengen zerlegst:

$$D:=A \cap B \text{  und }A=D \cup A' \text{ mit }A':=A \setminus D \text{  und }B=D \cup B' \text{ mit }B':=B \setminus D$$

Jetzt kannst Du alle auftretenen Wahrscheinlichkeiten mit P(D), P(A'),P(B') ausdrücken, beachte

$$P(M \cup N)=P(M)+P(N) \text{   \bf falls } M \cap N=\emptyset$$

(verbessert nach Kommentar)

Gruß Mathhilf

Comments

Ich glaube da fehlt am ende noch ein plus.

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Danke, habe ich verbessert.

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Vielen Dank :)