Beweisen mit Hilfe der Binomischen Formel oder mit einer vollständigen Induktion

Question

Beweisen Sie, dass für jedes n ∈ N gilt

\( \left(\begin{array}{l}n \\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}n \\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}n \\ 2\end{array}\right) \mp \cdots+(-1)^{n}\left(\begin{array}{l}n \\ n\end{array}\right)=0 \)

Hinweis: Schreiben Sie die linke Seite der Gleichung zunächst als Summe.

Problem/Ansatz:

Hallo an alle, wäre jemand so nett und würde mir bei der Aufgabe helfen?
Ich verstehe nicht wie es machen soll?

Answer 1

Aloha :)

Der binomische Lehrsatz lautet:$$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot a^{n-k}\cdot b^k$$

Das heißt für das gegebene Problem:$$\phantom{=}\binom{n}{0}-\binom{n}{1}+\binom{n}{2}\mp\cdots+(-1)^n\binom{n}{n}$$$$=\binom{n}{0}\cdot(-1)^0+\binom{n}{1}\cdot(-1)^1+\binom{n}{2}\cdot(-1)^2+\cdots+\binom{n}{n}\cdot(-1)^n$$$$=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot(-1)^k=\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot1^{n-k}\cdot(-1)^k=(1-1)^n=0$$

Answer 2

Verwende den binomischen Satz in der Situation

\(0=0^n=(1+(-1))^n\).