Würfel mit Zahlen einer arithmetischen Folge

Question

Die 6 Seitenflächen eines Würfels sind mit sechs aufeinanderfolgenden Zahlen aus einer arithmetischen Folge natürlicher Zahlen beschriftet. An jeder der 8 Würfelecken steht das Produkt der Zahlen der 3 an diese Ecke grenzenden Flächen. Die Summe der 8 Produkte ist 2465. Welche Zahlen stehen auf den Würfelseiten?

Answer 1

Hallo Roland,

schöne Aufgabe!

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Es sind die Zahlen$$1,\,4,\,7,\,10,\,13,\,16$$wobei sich die Paare \((1,\,4)\), \((7,\,10)\) und \((13,\,16)\) jeweils auf gegenüberliegenden Seiten des Würfels befinden.

Wenn man die sechs Zahlen auf einem Würfel mit \(a_1\) bis \(a_6\) bezeichnet und sie so anordnet, dass der Index jeweils die Position auf einem klassischen Würfel angibt, so beträgt die Summe \(S\) der Produkte auf den Ecken$$S = (a_1+a_6)(a_2+a_5)(a_3+a_4)$$Weiter ist$$\begin{aligned}2465 &= 5 \cdot 17 \cdot 29\end{aligned}$$sei nun der kleinste Zahlenwert \(a_0\) und die Differenz der Folge \(d\), so könnte eine Lösung sein$$\begin{aligned}2465 &= 5 \cdot 17 \cdot 29 \\ &= (2a_0 + d) \cdot (2a_0 + 5d) \cdot (2a_0+9d) \\ \implies 4d &= 17-5 =12 \\ 4d &= 29 -17 = 12\\ \implies d&= 3 \land a_0 =1 \end{aligned}$$

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Comments

Ja, zur Abwechslung mal wieder eine gelungene Aufgabe.