Funktion Brücke Steigung

Question

Aufgabe:

Der Graph der Funktion 1/1000x^3-67/1000x^2+x stellt die Trägerkonstruktion einer Brücke oberhalb der X-Achse dar. Die Brücke ist dabei die X-Achse.

Ich habe bei folgenden Aufgaben Probleme:

a) Ermitteln Sie die Stelle des größten Anstiegs und die Stelle des größten Gefälles der oberen Randlinie (Trägerkonstruktion)

b) Prüfen Sie, ob entlang der oberen Randlinie ein Anstieg bzw. ein Gefälle von 45° überschritten wird.

Bei a) weiß ich das der größte Anstieg bzw. das größte Gefälle im Wendepunkt liegt. Diesen habe ich berechnet und dieser liegt bei 22,33. Es handelt sich dabei um einen RL-Wendepunkt.

Mein Problem ist jetzt aber zu bestimmen ob dort der Anstieg oder der Abstieg am größten ist und da es nur einen Wendepunkt gibt, wo ist dann die andere Stelle mit dem größten Anstieg oder Abstieg?

Bei b) würde mir nur einfallen - da 45Grad eine Steigung von 1 bedeutet - f‘(1) zu berechnen, bzw

f‘(1,1) und zu schauen ob der Wert der rauskommt im Bereich der X-Achse der Brück liegt, weil dann würde die Steigung von 45 Grad doch überschritten, oder? Oder ist mein Ansatz hier falsch bzw. wie mache ich das am besten?

Danke für eure Hilfe!

Comments

Da die Funktion weit über die Brücke hinausgeht würde ich zuerst bestimmen, von wo bis wo die Brücke geht, also die Nullstellen bestimmen.

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Die Nullstellen sind bei 0 und bei 22,44.

Der Wendepunkt ist bei 22,33 - liegt somit zwischen den Nullstellen und dürfte somit der Punkt mit der größten Steigung sein. Ist das dann aber auch gleichzeitig der Punkt mit dem größten Gefälle?

Für b dann einfach f‘(22,33) und schauen ob größer als 1 bzw. -1 ?

Answer 1

a) Trägerkonstruktion in Koordinatensystem:

Der größte Anstieg dürfte bei x=0 sein. In umgekehrter Richtung gesehen ist dort auch das größte Gefälle. Berechne also f '(0).

b) 45° entspricht der Steigung 1. Ist f '(x)>1 für 0≤x≤22,4 ?

Comments

Wieso bei x=0 und nicht am Wendepunkt?

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Siehe Antwort von Mathecoach.

Answer 2

Hallo,

die größte Steigung bzw. stärkstes Gefälle tritt normalerweise im Wendepunkt auf. Da die Funktion nur zwischen zwei Nullstellen, also in einem begrenzten Intervall, definiert ist, müssen auch die Ränder untersucht werden.

Berechne also

f'(0)= ...

f'(22,4433)= ...

f'(x_w)= ...

Da tan(45°)=1 ist, musst du gucken, ob die Beträge der drei berechneten Werte kleiner gleich 1 sind. Dann werden 45° nicht überschritten.

Die Werte der Ableitung liegen im betrachteten Intervall ca. zwischen -0,5 und +0,2, also weit entfernt von ±1.

f'(1) ergibt hier übrigens keinen Sinn, sondern |f'(x)|≤1.

:-)

Answer 3

Man muss hier die lokalen Extremwerte immer noch mit den Randwerten vergleichen ob dort nicht evtl. noch größere oder kleinere Werte auftreten.

a) Ermitteln Sie die Stelle des größten Anstiegs und die Stelle des größten Gefälles der oberen Randlinie (Trägerkonstruktion)

f(x) = 0.001·x^3 - 0.067·x^2 + x = 0 --> x = 0 ∨ x = 67/2 - √489/2 = 22.44 (∨ x = √489/2 + 67/2 = 44.56) 
f'(x) = 0.003·x^2 - 0.134·x + 1
f''(x) = 0.006·x - 0.134 = 0 --> x = 67/3

f'(0) = 1 → Größter Anstieg am Anfang
f'(67/3) = -0.4963333333 → Größtes Gefälle am WP
f'(22.44) = -0.4962992