Aloha :)
Die Behauptung lautet:$$\prod\limits_{i=1}^n(1+x_i)>1+\sum\limits_{i=1}^nx_i\quad;\quad x_i>0$$
zu a) Sie gilt nicht für \(n=1\), denn in diesem Fall herrscht Gleichheit:$$\prod\limits_{i=1}^1(1+x_i)=1+x_i=1+\sum\limits_{i=1}^1x_i=1+\sum\limits_{i=1}^nx_i$$Der linke Term ist also gleich dem rechten Term und nicht größer.
zu b) Wir zeigen die Richtigkeit der Behauptung für \(n\ge2\) mittels vollständiger Induktion.
Verankerung bei \(n=2\):$$\prod\limits_{i=1}^n(1+x_i)=\prod\limits_{i=1}^2(1+x_i)=(1+x_1)(1+x_2)=1+x_1+x_2+\underbrace{x_1x_2}_{>0}$$Wegen \(x_i>0\) ist \(x_1x_2>0\). Weglassen von \(x_1x_2\) verkleinert daher die Summe:$$\prod\limits_{i=1}^n(1+x_i)>1+x_1+x_2=1+\sum\limits_{i=1}^2x_i=1+\sum\limits_{i=1}^nx_i\quad\checkmark$$
Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\):$$\prod\limits_{i=1}^{n+1}(1+x_i)=(1+x_{n+1})\cdot\prod\limits_{i=1}^{n}(1+x_i)\stackrel{(\text{Ind.Vor.})}{>}(1+x_{n+1})\cdot\left(1+\sum\limits_{i=1}^nx_i\right)$$$$\phantom{\prod\limits_{i=1}^{n+1}(1+x_i)}=1+x_{n+1}+\sum\limits_{i=1}^nx_i+\underbrace{x_{n+1}\sum\limits_{i=1}^nx_i}_{>0}>1+x_{n+1}+\sum\limits_{i=1}^nx_i=1+\sum\limits_{i=1}^{n+1}x_i\quad\checkmark$$Wie bei der Verankerung wurde der unterklammerte, positive Term weggelassen und dafür die Abschätzung \(>\) vorgenommen.
