Aloha :)
zu a)\(\quad A=\{x\in\mathbb R\big|x^2-10x<24\}\)
Alle \(x\) aus der Menge \(A\) erfüllen die Bedingung:$$x^2-10x<24\Longleftrightarrow x^2-10x-24<0\Longleftrightarrow(x+2)(x-12)<0$$Einer der beiden Faktoren muss positiv sein, der andere muss negativ sein, damit das Produkt negativ ist. Das führt zu folgenden Fallunterscheidungen.$$x\le-2\implies\underbrace{(x+2)}_{\le0}\cdot\underbrace{(x-12)}_{<0}\ge0$$$$-2<x<12\implies\underbrace{(x+2)}_{>0}\cdot\underbrace{(x-12)}_{<0}<0$$$$x\ge12\implies\underbrace{(x+2)}_{>0}\cdot\underbrace{(x-12)}_{\ge0}\ge0$$Damit können wir die Menge \(A\) umschreiben zu:\(\quad A=\{x\in\mathbb R\big|-2<x<12\}\)
Die Menge \(A\) ist also beschränkt mit Infimum \((-2)\) und Supremum \(12\). Minumum und Maximum gibt es nicht, weil die Werte \((-2)\) bzw. \(12\) nicht zur Menge gehören und man daher kein kleinstes oder größtes Element konkret angeben kann.
zu b)\(\quad B=\left\{x\in\mathbb R\big|x=\frac1n+\frac1m\;;\;n,m\in\mathbb N\right\}\)
Wegen \(n\ge1\) gilt \(\frac1n\le1\). Da weiter \(\frac1n\) gegen \(0\) konvergiert gilt:\(\quad0<\frac1n\le1\)
Dasselbe gilt natürlich für \(m\):\(\quad0<\frac1m\le1\)
Daher gilt für alle \(n,m\in\mathbb N\):$$0+0<\frac1n+\frac1m\le1+1\implies 0<\frac1n+\frac1m\le2$$
Daher ist auch die Menge \(B\) beschränkt, mit Infimum \(0\) und Maximum \(2\). Ein Minimum gibt es nicht, da zwar \(x\) der \(0\) unendlich nahe kommt, aber nie erreicht. Die \(0\) selbst gehört daher nicht zur Menge \(B\).
