Wurzelkriterium oder Quotientenkriterium

Question

$$ \begin{array} { l } { \sum \limits _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { n + 5 } { 3 n - 2 } \right) ^ { 3 n } } \\ { \sum \limits _ { n = 1 } ^ { \infty } \sqrt[3n] { \left( \frac { n + 5 } { 3 n - 2 } \right) ^ { 3 n } } } \\ { \lim \limits _ { n \rightarrow \infty } \left( \frac { n + 5 } { 3 n - 2 } \right) } \\ { \lim \limits _ { n \rightarrow \infty } \frac { n ( 1 + 5 / n ) } { n ( 3 - 2 / n ) } = \frac { 1 } { 3 } } \end{array} $$

Ich habe hier mal das Wurzelkriterium angewendet, aber es soll 1/27 herauskommen und nicht wie bei mir 1/3.

Ws habe ich falsch gemacht?

Answer 1

Dass du da die 3n-te Wurzel rausnimmst, sieht sehr abenteuerlich aus.

Du hast da schlussendlich ja nur jeden 3. Summanden von dieser Summe!

Wenn du erst den ((Bruch)^3)^n schreibst, und entsprechend die n-te Wurzel verwendest, kommst du schliesslich auf 1/3^3 = 1/27. ((Du musst dann im Zwischenschritt (wo du jetzt n ausklammerst) n^3 ausklammern))

Anm: Prüfe nochmals, wann du genau das Wurzelkriterium anwenden darfst.

 

Comments

Es steht aber in der Lösung das das Wurzelkriterium hier angewendet werden muss.

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Ok. DAnn mach's so, wie ich's beschrieben habe.

Da kannst du dann die n-te Wurzel nehmen.

So bekommst du die gewünschten 1/27. ;-)

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Aber die 3n-te Wurzel kürzen sich doch mit dem ^3n an dem Bruch raus! Oder was mache ich falsch?

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Das Wurzelkriterium gilt für die n-te Wurzel, nicht für die 3n-te Wurzel. Da kommt in der Summe nur jeder dritte Summand vor: Das kann nicht gleich viel geben, wie wenn du jeden Summanden nimmst.

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Gemäss Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Wurzelkriterium kannst du mit dem Wurzelkriterium nur prüfen, ob eine Reihe konvergiert. Wohin ist da nicht bestimmt.

Wenn du auf 1/3 kommst, ist das ja auch kleiner als 1. Deshalb ok.

Hier noch die Limesberechnung, die auf 1/27 kommt:

$$ \lim _{ n-->\infty  }{ \quad (\frac { n+5 }{ 3n-2 } { ) }^{ 3 } } =\lim _{ n-->\infty  }{ \quad (\frac { 1+\frac { 5 }{ n }  }{ 3-\frac { 2 }{ n }  } { ) }^{ 3 } } =\left( \frac { 1 }{ 3 }  \right) { \quad  }^{ 3 }\quad =\frac { 1 }{ 27 } $$