Vollständige Induktion Folgerung von Ungleichungen

Question

Aufgabe:

Seien a und b ganze Zahlen und n Element der natürlichen Zahlen

Beweise durch vollständige Induktion:

Aus 0<=a<=b folgt 0<=a^n<=b^n

Problem/Ansatz:

Unser Dozent geht in seinem Skript immer so vor, dass dann Voraussetzung 0<=a<=b und die Behauptung 0<=a^n<=b^n ist

Ich bekomme die Induktion nicht auf die Reihe..

Im (IA) muss ich natürlich zeigen, dass die Gleichung für n=1 gilt. Ich gehe so vor, dass ich die Ungleichung mit 1^1 multipliziere und so die Richtigkeit für n=1 zeigen kann und wieder auf die Behauptung schließen kann.

(IV) ist auch klar.Da behaupte ich ja nur das die Folgerung auch für beliebige aber feste n aus N gelten.

Nur wie gehe ich jetzt im Induktionsschritt vor ?

Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Im (IA) muss ich natürlich zeigen, dass die Gleichung für n=1 gilt. ✓

Ich gehe so vor, dass ich die Ungleichung mit 11 multipliziere und so die Richtigkeit für n=1 zeigen kann und wieder auf die Behauptung schließen kann.  ????

Für n=1 ist die Beh. doch 0<=a¹<=b¹

was das gleiche ist wie 0<=a<=b. Also in der Tat unmittelbar aus der

Vor. folgt.

(IV) Es gibt ein n mit Aus 0<=a<=b folgt 0<=aⁿ<=bⁿ.

(IS) Daraus musst du nun schließen, dass diese

Folgerung auch für n+1 gilt. Etwa so:

Seien a,b ganze Zahlen mit 0<=a<=b

wegen IV gilt dann 0<=aⁿ<=bⁿ. Diese Ungleichungskette

mit dem (nicht negativen ! ) a multipliziert gibt

0<=aⁿ⁺¹<=a*bⁿ   #

Andererseits folgt aus 0<=a<=b durch Multiplikation

mit dem (nicht negativen ! ) bⁿ  

0 ≤ a*bⁿ ≤ bⁿ⁺¹

Damit kannst du # fortsetzen zu

0<=aⁿ⁺¹<=a*bⁿ   <=bⁿ⁺¹  q.e.d.

Comments

Vielen Dank für die Antwort.

Das hat mir geholfen.