Wenn cd≡1 mod(p-1), was ist dann (a^c )^d mod(p)?

Question

Aufgabe:

Wenn cd≡1 mod(p-1), was ist dann (a^c )^d mod(p)? Erklären Sie schlüssig.

Problem/Ansatz:

Wie genau kann man erklären?

Answer 1

1. Fall: \(a\equiv 0\) mod \(p \Rightarrow (a^c)^d=a^{cd}\equiv 0^{cd}\equiv 0\) mod \(p\).

2. Fall: \(a\not\equiv 0\) mod \(p\): Der "kleine Fermat" lehrt: \(a^{p-1}\equiv 1\) mod \(p\).

\(cd\equiv 1\) mod \((p-1)\) bedeutet, dass es eine ganze Zahl \(k\) gibt mit

\(cd-1=(p-1)\cdot k\). Daraus folgt:;

\(a^{cd}a^{-1}=(a^{(p-1)})^k\equiv 1^k=1\) mod \(p\). Multiplikation mit \(a\)

liefert: \((a^c)^d=a^{cd}\equiv a\) mod \(p\).

Beide Fälle liefern also \((a^c)^d\equiv a\) mod \(p\).