Basen und direkte Summe von Räumen, Eindeutigkeit

Question

Aufgabe:

Es sei V ein reeller Vektorraum. Beweisen Sie die folgenden Behauptungen:

i) Ist (g₁ , . . . , g_n) eine Basis von V , so gibt es zu jedem v ∈ V eindeutig bestimmte Skalare v₁, . . . , v_n ∈ R, so dass

v = \( \sum\limits_{i=0}^{n} \)v_ig_i = v₁g₁ + ... + v_ng_n.

ii)  Ist V = U₁ ⊕U₂, so existieren zu jedem v ∈ V eindeutig bestimmte u₁ ∈ U₁ und u₂ ∈ U₂, so dass
v = u₁ + u₂

Problem/Ansatz:

zu i) klar da mit einer Basis möglich ist jeden Vektor des Vektorraums darzustellen. Wie soll ich dass dann "richtig" aufschreiben?

zu ii) -

Comments

Zu 1.: Sicher kannst du jeden Vektor als Linearkombination

von Basiselementen darstellen; denn eine Basis ist per Definition

ein Erzeugendensystem, wichtig ist hier aber - und das ist zu zeigen -

dass die Skalare EINDEUTIG bestimmt sind

Answer 1

Zu ii)

Da \(V=U_1+U_2\), gibt es zu \(v\in V\) ein \(u_1\in U_1\) und \(u_2\in U_2\)

mit \(v=u_1+u_2\). Ist nun auch \(v=v_1+v_2\) mit \(v_1\in U_1,\; v_2\in U_2\),

dann gilt \(u_1+u_2=v_1+v_2\Rightarrow u_1-v_1=v_2-u_2\)

Nun ist \(u_1-v_1\in U_1\) und ebenso \(v_2-u_2\in U_2\),

d.h. \(u_1-v_1=v_2-u_2\in U_1\cap U_2=\{0\}\).

Daraus folgt \(u_1=v_1\) und \(v_2=u_2\), d.h. die

Eindeutigkeit der Darstellung.