Reelle Folge Äquivalenz beweisen

Question

Aufgabe:

Sei (a_n) eine reelle Folge und sei a ∈ ℝ. Außerdem sei C ∈ (0, +∞) fest gewählt.
Beweisen oder widerlegen Sie:
(a)

lim n→∞ a_n = a ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃n_0 ∈ N ∀n ≥ n_0 : |a_n − a| < C ε.

Problem/Ansatz:

Wie geht man an so eine Aufgabe heran?

Answer 1

Man zeigt, dass

        ∀ε > 0 ∃n_0 ∈ N ∀n ≥ n_0 : |a_n − a| < C ε

genau dann gilt, wenn

        ∀ε > 0 ∃n_0 ∈ N ∀n ≥ n_0 : |a_n − a| < ε

gilt.

Comments

Wäre dafür folgende Argumentation zulässig?: Da C > 0 ist, ändert C ε nichts an der Tatsache, dass die ε Umgebung beliebig klein aber nicht 0 wird, sodass darin immer noch endlich viele Werte von der reellen Folge drin liegen.

---

Da C > 0 ist, ändert C ε nichts an der Tatsache, dass die ε Umgebung beliebig klein aber nicht 0 wird

Das ist etwas unklar formuliert. Ich vermute du hast die richtige Idee.

Angenommen es gilt

        ∀ε > 0 ∃n₀ ∈ ℕ ∀n ≥ n₀ : |a_n − a| < C ε.

Sei ε > 0. Sei δ > 0 mit δ < ε/C (n.b. δ existiert aufgrund der Axiome für angeordnete Körper).

Sei n₀ ∈ ℕ so dass

        ∀n ≥ n₀ : |a_n − a| < C δ.

Ein solches n₀ existiert laut Annahme. Dann gilt laut Definition von δ

    ∀n ≥ n0 : |an − a| < C ε/C.

Laut Bruchrechenregeln gilt dann

    ∀n ≥ n0 : |an − a| < ε.

Da ε > 0 beliebig gewählt wurde, gilt somit

    ∀ε > 0 ∃n₀ ∈ ℕ ∀n ≥ n₀ : |a_n − a| < ε.

Und natürlich muss noch die andere Richtung gezeigt werden.