Aloha :)
Wie haben eine zu optimierende Funktion \(f\) und 2 konstante Nebenbedingungen \(g_1;g_2\):$$f(x;y;z)=x^2+y^2+z^2$$$$g_1(x;y;z)=x^2+y^2-z^2=0\quad;\quad g_2(x;y;z)=x-2z=3$$
Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein:$$\operatorname{grad}f=\lambda\cdot\operatorname{grad}g_1+\mu\operatorname{grad}g_2$$$$\begin{pmatrix}2x\\2y\\2z\end{pmatrix}=\lambda\cdot\begin{pmatrix}2x\\2y\\-2z\end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix}1\\0\\-2\end{pmatrix}$$Diese Aussage ist äquivalent damit, dass die 3 Gradienten linear abhängig sind. Das ist genau dann der Fall, wenn die Determinante verschwindet:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}2x & 2x & 1\\2y & 2y & 0\\2z & -2z & -2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}0 & 2x & 1\\0 & 2y & 0\\4z & -2z & -2\end{array}\right|=4z\cdot(-2y)=-8yz\implies \underline{\underline{y\cdot z=0}}$$
Diese Lagrange-Forderung kombinieren wir mit den beiden Nebenbedingungen:$$yz=0\implies y^2z^2=0\stackrel{g_1}{\implies} y^2(x^2+y^2)=0\implies y=0$$$$x^2+y^2-z^2=0\stackrel{y=0}{\implies} x^2-z^2=0\implies z^2=x^2\implies z=\pm x$$$$z=x\stackrel{g_2}{\implies}x-2x=3\implies -x=3\implies x=-3\;\land\;z=-3$$$$z=-x\stackrel{g_2}{\implies}x+2x=3\implies 3x=3\implies x=1\;\land\;z=-1$$
Damit haben wir zwei Kandidaten für Extremstellen gefunden:$$K_1(-3|0|-3)\quad;\quad K_2(1|0|-1)$$Wegen \(f(\vec k_1)=18\) und \(f(\vec k_2)=2\) haben wir:
\(K_1\) als globales Maximum und \(K_2\) als globales Minimum.
Die geometrische Deutung ist etwas fummelig...
Die zu optimierende Funktion \(f\) beschreibt eine Kugeloberfläche.
Die Nebenbedingung \(g_1\) berschreibt einen "Doppelkegel" mit Spitze im Ursprung, der sich in postitiver \(z\)-Richtung nach oben öffnet und in negative \(z\)-Richtung nach unten.
Die Nebenbedingung \(g_2\) beschreibt eine Gerade.
