Zeigen oder widerlegen Sie, dass \sqsubseteq eine totale Ordnung ist.

Question

Aufgabe:

Die Quersumme einer Zahl \( n=\sum \limits_{i=0}^{k} a_{i} \cdot 10^{i} \) ist \( q(n)=\sum \limits_{i=0}^{k} a_{i} \). Wir definieren die Relation \( \sqsubseteq \) als \( n \sqsubseteq m \quad \) genau dann wenn \( \quad q(n) \leq q(m) . \)
Zeigen oder widerlegen Sie, dass \( \sqsubseteq \) eine totale Ordnung ist.

Problem/Ansatz:

ich verstehe nicht ganz wie ich beweisen soll, dass es sich hierbei um eine bzw. keine total Ordnung handelt. Soll man z.B. bei der Reflexivität einfach schreiben, dass q(n) <= q(n) ist, und dann hat man schon die Reflexivität gezeigt?

Answer 1

Es handelt sich nicht einmal um eine Ordnungsrelation, da

die Antisymmetrie nicht gegeben ist. Beispiel 12 und 21.

Comments

Hallo und danke für die Antwort,

Meinst du damit, dass wenn wir q(12) <= q(21) und q(21) <= q(12) => 12 = 21 schreiben, es zu einem Widerspruch kommt?

mfg

ulong

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Dann müsste 12=21 gelten.

Das ist doch offensichtlich falsch, also haben wir

ein Gegenbeispiel.

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Hallo,

ich wollte jetzt nochmal fragen, ob ich das ganze jetzt so richtig aufgeschrieben hab:

Man wähle n:={12} und m := {21, 23}. Dann gilt q(n) <= q(m).

Nun prüfe ob n Teilmenge von m eine total Ordnung ist.

Antisymmetrie:

({12} ist keine Teilmenge von {21,23} und {21,23} ist keine Teilmenge von {12} => {12} != {21, 23})

=> Antisymmetrie nicht gegeben und somit handelt es sich nicht um eine total Ordnung.

Ich hoffe, ich hab das so richtig aufgeschrieben, das Thema total Ordnung ist neu für mich.

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Da hast du etwas falsch verstanden.

"\(\sqsubseteq\)" hat mit Teilmengen garnichts zu tun.

Es soll einfach nur ein Symbol für eine

vermeintliche kleiner-gleich-Relation sein so wie "\(\leq\)".

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Achso, dann muss ich einfach n = 12 und m = 21 definieren und dann eben (12 <= 21 und 21 !(<=) 12 )=> 21 != 12, weshalb es dann nicht antisymmetrisch ist.

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Ja. Wir haben

\(q(21)=3=q(12)\), also \(q(21)\leq q(12)\) und \(q(12)\leq q(21)\), also

\(21 \sqsubseteq 12\) und \(12 \sqsubseteq 21\), aber \(12\neq 21\),

also ist \(\sqsubseteq\) nicht antisymmetrisch.

Da die Antisymmetrie nicht gegeben ist, muss man keine der

anderen Eigenschaften mehr überprüfen.