Gleichheit in der Dreiecksungleichung, wenn z/w reell und nichtnegativ ist

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass fur alle z ∈ ℂ und w ≠ 0 ∈ ℂ Gleichheit in der Dreiecksungleichung, genau dann gilt, wenn \( \frac{z}{w} \) reell und nichtnegativ ist.

Problem/Ansatz:

Also in dieser Aufgabe betrachten wir den Teil der Dreiecksungleichung, der besagt, dass |z + w| = |z| + |w| ist. Leider weiß ich überhaupt nicht, wo ich hier anfangen soll. Ein Ansatz, den ich im Internet gefunden habe, sagt mir, ich solle das ganze quardrieren. Nur weiß ich an dem Punkt leider noch immer nicht, wie mir das hilft.

Ich bin dankbar für jeden Ansatz und Tipp!

Answer 1

$$ z = a + ib, \quad w = c + id \\ \frac{z}{w} = \frac{a + ib}{c+id} = \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + i\frac{bc-ad}{c^2+d^2} \\ \frac{z}{w} \quad reell, \quad falls \quad bc-ad = 0 \\ |z| + |w| = |z+w| ? \\ \sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{c^2 + d^2} = \sqrt{a^2 + 2ac + c^2 + b^2 + 2bd +d^2} \quad -> \quad quadrieren \\ a^2 + b^2 + 2\sqrt{a^2 + b^2}\sqrt{c^2 + d^2} + c^2 + d^2  = a^2 + 2ac + c^2 + b^2 + 2bd +d^2 \\ 2\sqrt{a^2 + b^2}\sqrt{c^2 + d^2} = 2ac + 2bd \\ \sqrt{a^2 + b^2}\sqrt{c^2 + d^2} = ac + bd \quad -> \quad quadrieren \\ (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2 \\ a^2c^2 + b^2c^2 + a^2d^2 + b^2d^2 = a^2c^2 + 2acbd + b^2d^2 \\ b^2c^2 + a^2d^2 = 2acbd \\ b^2c^2 -2acbd + a^2d^2 = 0 \\ (bc - ad)^2 = 0 \\ q.e.d. $$