Aloha :)
zu (i) \(G\coloneqq(\vec g_1;\vec g_2;\vec g_3)\) ist genau dann eine Basis des \(\mathbb R^3\), wenn die 3 Vektoren linear unabhängig sind, also ein 3-dimensionales Volumen aufspannen. Der Betrag der Determinante einer \(n\times n\)-Matrix gibt das \(n\)-dimensionale Volumen an, das ihre \(n\) Zeilenvektoren oder ihre \(n\) Spaltenvektoren aufspannen. Wenn also die Determinante aus den 3 Basisvektoren \(\ne0\) ist, stellt \(G\) eine Basis dar:
$$\left|\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\2 & 2 & 1\\-1 & 0 & 0\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{rrr}0 & 1\\2 & 1\end{array}\right|=-(0-2)=2\ne0\quad\checkmark$$
zu (ii) Die Komponenten der Matrix \(A\) und des Vektors \(\vec v\) sind bezüglich der Standardbasis \(S\) des \(\mathbb R^3\) angegeben:$$A=\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3\\0 & 1 & 2\\1 & 1 & 1\end{array}\right)_{\!\!S}\quad;\quad\vec v=\left(\begin{array}{r}1\\0\\-1\end{array}\right)_{\!\!S}$$
Auch die Komponenten der Vektoren aus \(G\) sind bezüglich der Standardbasis \(S\) des \(\mathbb R^3\) angegeben. Daher wissen wir, wie die Vektoren aus \(G\) in der Standardbasis aussehen und können die Übergangsmatrix von \(G\) nach \(S\) direkt angeben:$${_S}\mathbf{id}_G=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\2 & 2 & 1\\-1 & 0 & 0\end{array}\right)$$
Nun sollen die Komponenten der Matrix \(A\) und des Vektor \(\vec v\) bezüglich der Basis \(G\) dargestellt werden. Wir haben gerade die Transforamtionsmatrix von \(G\) nach \(S\) hingeschrieben. In die andere Richtung, also von \(S\) nach \(G\) geht es mit der Inversen:$${_G}\mathbf{id}_S=\left({_S}\mathbf{id}_G\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1\\2 & 2 & 1\\-1 & 0 & 0\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & -1\\[0.5ex]-\frac12 & \frac12 & \frac12\\[0.5ex]1 & 0 & 1\end{array}\right)$$
Das Umrechnen ist nun eine einfache Matrixmultiplikation:$$A=\left(\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & -1\\[0.5ex]-\frac12 & \frac12 & \frac12\\[0.5ex]1 & 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}1 & 2 & 3\\0 & 1 & 2\\1 & 1 & 1\end{array}\right)_{\!\!S}\right)_{\!\!G}=\left(\begin{array}{rrr}-1 & -1 & -1\\0 & 0 & 0\\2 & 3 & 4\end{array}\right)_{\!\!G}$$$$\vec v=\left(\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & -1\\[0.5ex]-\frac12 & \frac12 & \frac12\\[0.5ex]1 & 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rrr}1\\0\\-1\end{array}\right)_{\!\!S}\right)_{\!\!G}=\left(\begin{array}{rrr}1\\-1\\0\end{array}\right)_{\!\!G}$$
