Steigung der Tangente am Kreis

Question

Aufgabe:

Ermittle in welchen Punkten des Kreises k: (x-1)^2+y^2=25 die jeweilige Tangente an den Kreis k die Steigung -3/4 hat

Answer 1

Forme die Kreisgleichung nach y um, leite sie nach x ab, setze die Ableitung gleich -3/4 und löse diese Gleichung. Setze dann die Lösungen in die Kreisgleichung ein, um auch die y-Koordinaten zu erhalten.

Comments

Irgendetwas mache ich dabei falsch ich komme auf kein brauchbares Ergebnis.

---

Das ist zwar keine Frage, aber ich versuche die implizite Frage zu beantworten:

Forme die Kreisgleichung nach y um

\((x-1)^2 + y^2 = 25 \quad \Leftrightarrow \quad y = \pm \sqrt{25-(x-1)^2} \)

leite sie nach x ab, setze die Ableitung gleich -3/4

\(\displaystyle \mp \frac{x-1}{\sqrt{-x^2 + 2x + 24}} = -\frac{3}{4}\)

und löse diese Gleichung

x_1,2 = (4, -2)

Setze dann die Lösungen in die Kreisgleichung ein, um auch die y-Koordinaten zu erhalten.

Answer 2

Ermittle in welchen Punkten des Kreises \( k: (x-1)^2+y^2=25\) die jeweilige Tangente an den Kreis k die Steigung \(-\frac{3}{4} \) hat.

Gerade durch \( M(1|0)\) mit \( m=-\frac{3}{4} \) 

\( \frac{y-0}{x-1}=-\frac{3}{4} \)       \( y=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}\)

Die Senkrechte durch   \( M(1|0)\) mit m_N=\(\frac{4}{3}\) schneidet den Kreis in den gesuchten Punkten.

Comments

Hier ein anderes Bild in dem man noch die Tangenten erkennen kann.

Answer 3

Man führe neue Koordinaten durch \(X:=x-1,\; Y:=y\) ein (Verschiebung

des Koordinatenursprungs in den Kreismittelpunkt).

Die Kreisgleichung geht dann über in \(X^2+Y^2=25\).

Da die Radiusvektoren des Kreises senkrecht auf den Tangenten stehen,

haben die uns interessierenden Radiusvektoren die Steigung 4/3.

Da \(3^2+4^2=5^2\) ist, bekommen wir so

die Radiusvektoren (3,4) und (-3,-4), also in den ursprünglichen Koordinaten

die Punkte \(P_1=(4,4)\) und \(P_2=(-2,-4)\).