Aloha :)
Erweitere den Bruch mit \(a^2b^2\), dann steht die Vereinfachung sofort da:$$\frac{a^{-2}-b^{-2}}{a^{-2}+b^{-2}}=\frac{a^2b^2(a^{-2}-b^{-2})}{a^2b^2(a^{-2}+b^{-2})}=\frac{a^{2-2}b^2-a^2b^{2-2}}{a^{2-2}b^2+a^2b^{2-2}}=\frac{a^{0}b^2-a^2b^{0}}{a^{0}b^2+a^2b^{0}}=\frac{b^2-a^2}{b^2+a^2}$$