Extremstelle / Ortskurve berechnen

Question

Aufgabe:

Für einen Betrieb werden die Gesamtkosten in Abhängigkeit von der Absatzmenge x dargestellt durch Kt( x ) = 0,5x³ - tx² + 30x + 25 ; x ≥ 0 ; t ∈ ℝ und 0 < t < 6 .

a ) Zeigen Sie , dass Kt keine Extremstellen hat . Erläutern Sie die wirtschaftliche Bedeutung dieses Sachverhaltes .

b ) Bestimmen Sie die Produktionsmenge mit dem geringsten Kostenzuwachs in Abhängigkeit vom Parameter t . Für jeden Parameterwert t gibt es einen zugehörigen Punkt auf der Gesamtkostenkurve von Kt . Bestimmen Sie die Ortskurve dieser Punkte .

Problem/Ansatz:

Bei der Aufgabe a habe ich die Abrleitungen gebildet und die erste Ableitung ist: 1,5x²-2tx+30

Jetzt muss ich doch die 2. Ableitung gleich Null setzten, aber wie genau mache ich das jetzt mit 1,5x²-2tx+30?

Und bei der Aufgabe b muss ich doch die Ortskurve berechnen mit Hilfe der 3. Ableitung oder?

Answer 1

a ) Zeigen Sie , dass Kt keine Extremstellen hat . Erläutern Sie die wirtschaftliche Bedeutung dieses Sachverhaltes .

Kt(x) = 0.5·x^3 - t·x^2 + 30·x + 25

Kt'(x) = 1.5·x^2 - 2·t·x + 30 = 0

Diskriminante D = (- 2·t)^2 - 4·1.5·30 < 0 für 0 < t < 6 und damit gibt es keine Lösung.

Comments

Ich danke dir sehr. Das heißt, dass die Kosten stetig sind. Und aufgrund der Diskriminante weiß man, dass es hier keine Lösung gibt. D < 0

Bei der Aufgabe b muss ich nur die Ortskurve berechnen oder?

Ist das so richtig:

Vorgehensplan:

Die Funktion dreimal ableiten.
Wir setzen die zweite Ableitung gleich Null.
Prüfen ob ein Wendepunkt wirklich vorliegt
Den x-Wert des Wendepunkts in f(x) einsetzen und y berechnen.
Den x-Wert des Wendepunkts nach der Formvariable umstellen und
Damit in den y-Wert des Wendepunkts gehen um die Ortskurve zu ermitteln.

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Wie soll ich bei b die Ortskurve berechnen wenn ich keine extremstellen habe?.

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Ja. Das ist so korrekt. Du brauchst eigentlich nicht zu Prüfen. Jede Funktion dritten Grades hat ein Wendepunkt und um genau den geht es

Kt''(x) = 3·x - 2·t = 0 --> x = 2/3·t bzw. t = 1.5·x

Kt(2/3·t) = -8/27·t^3 + 20·t + 25 → WP(2/3·t | -8/27·t^3 + 20·t + 25)

Ortskurve der Wendepunkte

y = 0.5·x^3 - (1.5·x)·x^2 + 30·x + 25 = - x^3 + 30·x + 25