a herausfinden, sodass AB=BA=I ist...

Question

Gegeben ist folgende Matrix:

\( A = \begin{pmatrix} a & 1 & 0 \\ 2 & 2 & a \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} \)

Geben Sie alle a ∈ R an, für die eine Matrix B ∈ R^3x3 existiert, so dass AB = BA = I und berechnen Sie für diesen Fall det B.

Mein erster Gedanke war, dass das für jedes a gelten kann.

Answer 1

Ich nehme an, das mit I die Einheitsmatrix des ℝ^3x3 gemeint ist.

Dann ist offensichtlich, dass B die Inverse zu A sein muss.

Damit eine solche Matrix B zu einer Matrix A existiert, muss A invertierbar sein.

Damit A invertierbar ist, darf ihre Determinante nicht 0 sein.

Die Determinante von A errechnet sich nach Sarrus:

a*2*2 + 1*a*0 + 2*1*0 - 0*2*0 - 1*a*a - 2*1*2 = 4a - a^2 - 4

Für welche a wird dieser Ausdruck 0?

0 = - a^2 + 4a - 4

0 = a^2 - 4a + 4

a₁₂ = 2 ±√(4-4) = 2 ± 0

a = 2

Somit ist die Determinante von A für a=2 gleich 0. Nur in diesem Falle ist A nicht invertierbar. Es gilt also, dass für alle a∈ℝ\{2} zu A eine Matrix B existiert, so dass AB = BA = I ist.