Zwischenwertsatz und eine Nullstelle

Question

Aufgabe:

Sei \( [a, b] \subset \mathbb{R} \) ein abgeschlossenes Intervall und \( f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) seien zwei stetige Funktionen mit \( f(a)>g(a) \) und \( f(b)<g(b) \). Zeigen Sie, dass ein \( x_{0} \in(a, b) \) existiert mit \( f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right) \).

Answer 1

Betrachte die Differenzfunktion h(x) = f(x)-g(x).

Die i8st dann auch stetig auf [a,b]

und es ist h(a) =f(a)-g(a) > 0  und h(b) < 0.

Also gibt es ein xo in (a;b)  mit h(xo) = 0

==>    f(xo)=g(xo).