Hallo,
du hast schonmal richtig aufgeschrieben, was gezeigt werden muss (Eine Gruppe ist immer auch ein Monoid). Da die Verknüpfung gegeben ist bleibt auch nichts anderes übrig, als nachzurechnen. Ich mache das hier mal exemplarisch für das neutrale Element und die Abgeschlossenheit. Für die beiden anderen Sachen gebe ich erstmal nur Hinweise.
Neutrales Element: In der Aufgabe steht schon, dass 0 das neutrale Element sein soll, also überprüfen wir ob es die nötigen Eigenschaften erfüllt. Sei dazu \(g\in G\) beliebig, dann ist $$g\circ0=g\cdot0+g+0=g\\0\circ g=0\cdot g+0+g=g$$
Damit ist 0 das neutrale Element.
Abgeschlossenheit: Seien \(g,h\in G\) (das heißt \(g,h\in\mathbb R\) und \(g,h\neq-1\)). Damit \(g\circ h\in G\) gilt müssen wir also nur zeigen, dass \(g\circ h\neq-1\) (eine reelle Zahl ist es ja auf jeden Fall).
Angenommen es wäre \(g\circ h=gh+g+h=-1\) dann können wir nach \(g\) umstellen und erhalten: $$g=\frac{-1-h}{h+1}=-1$$ Das ist natürlich ein Widerspruch, also muss \(g\circ h\neq-1\) gelten.
Assoziativität: Rechne einfach mal für \(g,h,f\in G\) sowohl \(g\circ(h\circ f)\) als auch \((g\circ h)\circ f\) aus (beachte die Klammern) und vergleiche dann die Ergebnisse.
Inverse: Das neutrale Element soll ja die 0 sein, wir müssen also zu jedem \(g\in G\) ein \(h\in G\) finden, sodass $$g\circ h=h\circ g=0$$ Rechne dazu z.B. \(g\circ h\) aus und stelle nach \(h\) um. Überprüfe dann, dass für dieses \(h\) die beiden Gleichungen gelten.
Bei weiteren Problemen helfe ich gerne weiter.
LG Dojima
