Fläche zwischen Graph und Winkelhalbierender berechnen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Inhalt der Flächenstücke, die von der ersten Winkelhalbierenden un dem Graphen von f begrenzt werden. Fertigen Sie eine Skizze an.

c) f(x) = 2x³ - x

Problem/Ansatz:

ich bin jetzt so weit, dass ich den Flächeninhalt des Dreiecks auf dem Intervall 0 bis 1 kenne. Der ist 1/2.

Nun wollte ich den Flächeninhalt des Graphen von 0 bis 1 berechnen, komme da aber auf das Ergebnis 0.

Könnte jemand das ganze mal durchrechnen? Ich habe alles geprüft, verstehe aber nicht wieso da 0 rauskommt.

Vielen Dank

Comments

Fertigen Sie eine Skizze an.

Hast Du die? Ich sehe keine in Deinem Text.

Und danach: Was hast Du für eine Differenzfunktion?

Answer 1

d(x) = (2·x^3 - x) - (x) = 2·x^3 - 2·x = 2·x·(x + 1)·(x - 1) = 0 --> x = -1 ∨ x = 0 ∨ x = 1

D(x) = 0.5·x^4 - x^2

A = 2 * | ∫ (0 bis 1) (2·x^3 - 2·x) dx | = 1 FE

Du darfst nicht von -1 bis 1 integrieren, weil du dann die Flächenbilanz der Flächenstücke erhältst. Die eine Fläche ist 05 FE groß und die andere -0.5 FE. Zusammen heben sie sich auf. Du musst die Beträge der beiden Einzelflächen addieren. Oder zweimal die eine Fläche nehmen.

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Dankeschön : )

Answer 2

Aloha :)

Ich habe die Situation mal plotten lassen:

~plot~ 2x^3-x ; x ; [[-1,5|1,5|-1|1]] ~plot~

Zur Bestimmung der gesuchten Fläche bilden wir die Differenz der Funktion \(f(x)\) und der ersten Winkelhalbierenden \(g(x)=x\):$$d(x)\coloneqq\underbrace{2x^3-x}_{=f(x)}-\underbrace{x}_{=g(x)}=2x^3-2x=2x(x^2-1)=2x(x-1)(x+1)$$Sie hat offensichtlich drei Nullstellen \(x_1=-1\), \(x_2=0\) und \(x_3=1\), die unsere Integrationsgrenzen festlegen:$$F=\left|\int\limits_{-1}^0d(x)\,dx\right|+\left|\int\limits_0^1d(x)\,dx\right|=\left|\int\limits_{-1}^0\left(2x^3-2x\right)\,dx\right|+\left|\int\limits_0^1\left(2x^3-2x\right)\,dx\right|$$$$\phantom{F}=\left|\left[\frac{x^4}{2}-x^2\right]_{-1}^0\right|+\left|\left[\frac{x^4}{2}-x^2\right]_0^1\right|=\left|-\left(\frac12-1\right)\right|+\left|\frac12-1\right|=\frac12+\frac12=1$$

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Danke sehr : )