Quadratische Gleichung ohne Lösung

Question

Aufgabe:

… Wie muss für den fehlenden Koeffizient gelten, damit die quadratische Funktion
ax² + 12x + 9 = 0 keine Nullstelle besitzt?

Problem/Ansatz:

Wie kann ich das lösen?

Comments

Anstatt

damit die quadratische Funktion ... keine Nullstelle besitzt?

müsste da stehen:

damit die quadratische Gleichung ... keine Lösung besitzt?

... weil in der Aufgabe keine Funktion steht.

Answer 1

Hallo;

der Achsenabschnitspunkt liegt bei (0| +9)  und wenn die Funktion keine Nullstelle haben soll,

   darf a nicht negativ werden,

f(x) =ax²+12x+9

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wenn die Funktion keine Nullstelle haben soll, darf a nicht negativ werden,

~plot~  3x^2 +12x+9 ~plot~

Answer 2

Der Mitternachtsformel kann man entnehmen, dass wenn keine Lösung, dann b² - 4ac < 0

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Das bedeutet:

12² - 4*a*9 < 0            ausmultiplizieren

144 - 36a < 0               + 36a

144 < 36a                    / 36

4 < a

~plot~ 4x^2+12x+9 ; 4.5x^2+12x+9 ~plot~

Answer 3

ich nehme an es soll heißen
f _a ( x ) = a * x^2 + 12 * x + 9
Die Funktion soll keine Nullstelle haben
Es ist eine quadr..Funktion ( Parabel )

Die Funktion hat entweder eine Tiefpunkt (
nach oben geöffnet ) oder einen Hochpunkt

Falls die Parabel einen Tiefpunkt hat muß gelten
a > 0 ( a als Koeffiziient positiv )

f ( x_von_tiefpunkt ) > 0.
Dann gibt es keine Nullstelle

f ´( x ) = 2*a*x + 12
f ´´( x ) = 2 * a

Tiefpunkt
f ´( x ) = 0
2*a*x + 12 = 0
ax = - 6
x = - 6 / a

Funktionswert
f ( -6 / a ) = a * (-6/a)^2 + 12 * (-6/a ) + 9
f ( -6 / a ) = 36 / a - 72 / a + 9
f ( - 6 / a ) = -36 / a + 9
Funktionswert > 0
-36 / a + 9 > 0
-36 / a > -9
(-36 / -9 ) /a < 1
4 / a < 1
a > 4

Eine grafische Überprüfung ergab
a = 3 : Nullpunkte
a = 5 : keine Nullpunkte

So,. bin jetzt müde.

Das Ganze müßte noch für die Hochpunkte
gemacht werden.

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Das Ganze müßte noch für die Hochpunkte

gemacht werden.

Hallo Georg,

das ist nicht erforderlich.

:-)

---

Muß ich gerade überprüfen

Falls die Parabel einen Hochpunkt hat muß gelten
a < 0 ( a als Koeffizient negativ )

f ( x_von_Hochpunkt ) < 0.
Dann gibt es keine Nullstelle

f ´( x ) = 2*a*x + 12
f ´´( x ) = 2 * a

Hochpunkt
f ´( x ) = 0
2*a*x + 12 = 0
ax = - 6
x = - 6 / a

Funktionswert
f ( -6 / a ) = a * (-6/a)^2 + 12 * (-6/a) + 9
f ( -6 / a ) = 36 / a - 72 / a + 9
f ( - 6 / a ) = -36 / a + 9
Funktionswert < 0
-36 / a + 9 < 0
-36 / a < -9
4 / a > 1
4 < a
a > 4

Dies widerspricht der Eingangsvor-
aussetzung a < 0

keine Lösung

---

Moin Georg,

da die y-Achse bei y=9 geschnitten wird, muss eine nach unten geöffnete Parabel die x-Achse zweimal schneiden. Für a<0 gibt es also immer zwei Nullstellen.

:-)

Answer 4

Die y-Achse wird bei 9 geschnitten, d.h. die Parabel muss vollständig oberhalb der x-Achse verlaufen.

a>0

Nullstellen:

ax²+12x+9=0

x²+12/a *x +9/a =0

x=-6/a ± √(36/a² - 9a/a²)

Damit es keine Nullstellen gibt, muss der Radikand negativ sein.

36-9a<0

36<9a

a>4

:-)

Answer 5

Eine Quadratische Gleichung hat keine Lösung wenn die Diskriminante der Lösungsformel kleiner als Null ist, weil man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kann.

Also bei der abc-Formel (auch Mitternachtsformel

b^2 - 4·a·c < 0

Oder bei der pq-Formel

(p/2)^2 - q < 0

Wenn du also mal die abc Formel nutzt

ax^2 + 12x + 9 = 0

12^2 - 4·a·9 < 0 --> a > 4

Der fehlende Koeffizient a müsste also größer 4 sein. Skizziere es dir also z.B. mal für a = 3, 4, 5 auf.

Answer 6

Was muss für den fehlenden Koeffizient gelten, damit die quadratische Funktion mit der Gleichung \(y=ax^2 + 12x + 9\) keine Nullstelle besitzt?

Die Funktionsgleichung besitzt die Scheitelform $$y=a\cdot\left(x+\dfrac{6}{a}\right)^2+\dfrac{9a-36}{a}.$$ Die Funktion hat genau dann keine Nullstellen, wenn der Leitkoeffizient (Streckfaktor) \(a\) und die y-Koordinate \(\dfrac{9a-36}{a}\) des Scheitels das gleiche Vorzeichen aufweisen. Das ist gleichbedeutend mit $$a\cdot \dfrac{9a-36}{a} \gt 0.$$ Aufgelöst ergibt dies die gesuchte Bedingung \(\underline{\underline{a \gt 4}}.\)