Stetigkeit mehrdimensional epsilon-delta-stetigkeit

Question

Aufgabe: z.Z. mit epsilon-delta-Stetigkeit: f: X →Y (X={(x,y)∈ℝ² ,x>0,y>0}; Y=ℝ) mit f(x,y)=(y/x)*(e^x-1) ist in (0,0) stetig erweitbar. Außerdem euklidische metrik für ℝ²  und ℝ.

Problem/Ansatz: um einen möglichen Kandidaten für f(0,0) zu bekommen, hab ich mir f(1/n,1/n) angeschaut, was gegen 0 konvergiert, also Behauptung: f(0,0)=0 für Überprüfung.

Sei d₁ ((0,0),x)<δ, also wurzel(x² +y²)<δ mit δ=(fehlt mir noch)

z.Z. d₂ (0,(y/x)*(e^x -1))<ε

d₂ (s.o)=Ι(y/x)*(e^x -1)Ι; das ganze will ich jetzt nach oben abschätzen, komme jedoch nicht weiter.

Danke fürs Helfen!

Answer 1

Hallo,

mit dem Mittelwertsatz kannst Du folgende Abschätzung aufstellen
$$|\frac{\exp(x)-1}{x}|=|\frac{\exp(x)-\exp(0)}{x}|=|\exp(s)| \text{  mit } 0<s<x $$

Um das zu nutzen, verlangen wir \(\delta <1 \) und können dan abschätzen: \(\exp(s) \leq e\). Wenn also ein \(\epsilon>0\) gegeben ist, kann man setzen:

$$\delta:=\min\{1, \epsilon/e\}$$

Dann gilt für \(\|(x,y)\|_2 < \delta\):

$$|f(x,y)|=|y||\frac{exp(x)-1}{x}| \leq \delta \cdot e<\epsilon$$

Gruß Mathhilf