Untersuchen Sie die folgenden auf Konvergenz

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

Text erkannt:

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k(k+1)}} \)

Das ist meine Lösung. Wenn das falsch ist, kann jemand das dür mich korrgieren oder eine andere Weg zu zeigen? Vielen Dank im Voraus.

Text erkannt:

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k(k+1)}} \)
\( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} S_{n}=\lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}=0 \) endlich
Die Reihe konvergient zu null.
Untersuchurg der Absolut:
1. Schritt: suche nach \( \left|a_{k}\right| \)
\( \begin{array}{c} \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|a_{k}\right|=\lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sum \limits_{k \rightarrow 1}^{\infty}\left|\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}\right| \\ =\lim \limits_{k \rightarrow \infty} 0 \frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}=0 \end{array} \)
Die Reihe ist monoton fallend \( \Rightarrow \) Konvergiert
2. Schritt \( \sum \limits_{k=1}^{\infty}=\sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(a_{k}\right) \)
\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k(k+1)}} \)
Be dor asile Schritt istes fallend. Also es Konvengient.

Comments

Ich hab vergessen meine Lösung hochzuladen ;)

Text erkannt:

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k(k+1)}} \)
\( \lim \limits_{k \rightarrow \infty} S_{n}=\lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}=0 \) endlich
Die Reihe konvergient zu null.
Untersuchurg der Absolut:
1. Schritt: suche nach \( \left|a_{k}\right| \)
\( \begin{array}{c} \lim \limits_{k \rightarrow \infty}\left|a_{k}\right|=\lim \limits_{k \rightarrow \infty} \sum \limits_{k \rightarrow 1}^{\infty}\left|\frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}\right| \\ =\lim \limits_{k \rightarrow \infty} 0 \frac{1}{\sqrt{k(k+1)}}=0 \end{array} \)
Die Reihe ist monoton fallend \( \Rightarrow \) Konvergiert
2. Schritt \( \sum \limits_{k=1}^{\infty}=\sum \limits_{k=1}^{\infty}\left(a_{k}\right) \)
\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k(k+1)}} \)
Be dor asile Schritt istes fallend. Also es Konvengient.

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Die Reihe konvergiert nicht. Die bekanntlich divergente harmonische Reihe ist eine Minorante:$$\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{k(k+1)}}>\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{(k+1)(k+1)}}=\sum_{k=1}^n\frac1{k+1}.$$

Answer 1

Leider ist deine Lösung falsch eine Nullfolge der ak ist NUR eine notwendige Bedingung denke an ak=1/k mit divergenter summe mit ak=1/2k findest du auch leicht eine divergente Minorante.

lul