Bestimmen der Niveaumenge

Question

Aufgabe:

Sei \( q: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) die von der Matrix \( A=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right) \) induzierte quadratische Form, d.h. \( q(\vec{x})=\langle\vec{x}, A \vec{x}\rangle \).
(i) Skizzieren Sie die Niveaumenge von \( q \) zum Niveau \( 2 . \)
(ii) Berechnen Sie das Taylorpolynom zweiten Grades von \( q \) im Entwicklungspunkt \( (0,0) \). Was fällt Ihnen auf?

Problem/Ansatz:

Ich bin leider völlig ratlos, wie ich die Niveaumenge von q zum Niveau von 2 bestimme. Kann mir jemand einen Ansatz geben?

Answer 1

Aloha :)

Wir formen zunächst den Funktionsterm um:$$q(\vec x)=\left<\vec x;A\vec x\right>=\vec x^T\cdot (A\cdot\vec x)=\vec x^T\cdot\left(\begin{pmatrix}2 & 1\\1 & 1\end{pmatrix}\binom{x_1}{x_2}\right)=\begin{pmatrix}x_1 & x_2\end{pmatrix}\binom{2x_1+x_2}{x_1+x_2}$$$$\phantom{q(\vec x)}=x_1(2x_1+x_2)+x_2(x_1+x_2)=2x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$$

zu a) Zum Zeichnen der Niveau-Menge \(q(\vec x)=2\) stellen wir diese Gleichung nach \(x_2\) um:$$2\stackrel!=q(\vec x)=2x_1^2+2x_1x_2+x_2^2=x_1^2+(x_1+x_2)^2\implies x_2=\pm\sqrt{2-x_1^2}-x_1$$

~plot~ sqrt(2-x^2)-x ; -sqrt(2-x^2)-x ; [[-3|3|-2|2]] ~plot~

Die Niveau-Menge ist der Rand einer Ellipse.

zu b) Das haben wir oben bei der Umformung von \(q(\vec x)\) bereits erledigt. Die Taylor-Entwicklung enthält nur Terme 2-ter Ordnung, die 0-te oder 1-te Ordnung kommen nicht vor. Und die Taylor-Entwicklung ist exakt:$$q(x_1;x_2)=2x_1^2+2x_1x_2+x_2^2$$

Comments

Besten Dank Tschaka, so leuchtet mir das ein!

Könntest Du mir noch sagen, wieso genau nach x_2 umgestellt wird?

Und wieso die transponierte Matrix von x? (x^T)

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Könntest Du mir noch sagen, wieso genau nach x_2 umgestellt wird?

Und wieso die transponierte Matrix von x? (xT)

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Streng genommen muss bei einer Skalarmultiplikation von 2 Vektoren der linke Vektor transponiert werden, damit die entsprechende Matrix-Multiplikation definiert ist:$$\left<\vec x;\vec y\right>=\vec x^T\cdot\vec y$$Das Transponieren wird normalerweise nur immer unterschlagen.

Um die Funktion zu zeichnen, brauche ich eine Funktionsgleichung der Form \(y(x)\). Hier hat \(x_2\) die Rolly von \(y\) eingenommen und \(x_1\) die Rolle von \(x\). Daher habe ich die Gleichung nach \(x_2\) umgestellt.

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Ahh, so machts natürlich Sinn! Ich danke dir.

Zu b) hätte ich noch eine Frage. Habe ich das richtig verstanden, dass ich nun mit der umgeformten Funktion q(x)=2(x₁)² + 2x₁x₂ + (x₂)² als erstes die partiellen Ableitungen 1. & 2. Ordnung bestimme und diese dann in die Taylorfunktion einsetze?

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Eine Taylor-Entwicklung bis zur 2-ten Ordnung von einer Funktion \(f(x_1;x_2)\) sieht so aus:$$f(x_1;x_2)=c_0+c_1x_1+c_2x_2+c_3x_1^2+c_4x_1x_2+c_5x_2^2$$Die Funktionsgleichung von \(q(x_1;x_2)\) hat bereits diese Form, nur dass \(c_0=0\), \(c_1=0\) und \(c_2=0\) sind. Das heißt, die Taylor-Entwicklung bis zur 2-ten Ordnung stimmt mit der Funktionsgleichung \(q(x_1;x_2)\) exakt überein.