Rechenschema wie folgt. Eventuell habe ich mich beim konkreten Ergebnis vertan.
Polarkoordinaten Zylinder:
\( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} r cos φ \\ r sin φ \\ z \\ \end{pmatrix} \) r € [0,2], φ € [0,2π], z € [0,3]
Masse m des Zylinders mit der Dichte \(\rho(x,y,z)\) :
m = \( \int\limits_K\rho(x,y,z)\,dV = \int\limits_K \rho(x,y,z) r dφ dr dz \)
\(\rho(x,y,z) = x^2+(y-2)^2+z^2 = (r cos φ)^2+(r sin φ)^2 - 4rsin φ +4 + z^2 = r^2 - 4 r sin φ +4 + z^2 \)
m = \( \int\limits_{z=0}^3 \, \int\limits_{r=0}^2 \ \int\limits_{\varphi=0}^{2\pi} (r^2 - 4 r sin φ +4 + z^2 ) r dφ dr dz \) = 108π
xs*m = \( \int\limits_{z=0}^3 \, \int\limits_{r=0}^2 \ \int\limits_{\varphi=0}^{2\pi} r cos φ (r^2 - 4 r sin φ +4 + z^2 ) r dφ dr dz \) = 0
ys*m = \( \int\limits_{z=0}^3 \, \int\limits_{r=0}^2 \ \int\limits_{\varphi=0}^{2\pi} r sin φ (r^2 - 4 r sin φ +4 + z^2 ) r dφ dr dz \) = -48π
zs*m = \( \int\limits_{z=0}^3 \, \int\limits_{r=0}^2 \ \int\limits_{\varphi=0}^{2\pi} z (r^2 - 4 r sin φ +4 + z^2 ) r dφ dr dz \) = 189π
(xy,xs,zs) = (0,-0.44,1.75)
