Beweis der Implikation eines Supremums

Question

Aufgabe:
Es handelt sich um einen Zirkelbeiweis, in welchem lineare Operatoren bewiesen werden sollen.

Sei dazu X,Y normierte Räume und f: X→Y eine lineare Abbildung.

Gezeigt werden soll: sup ( |f(x)| / |x| ) <∞ mit dem Supremum über 0≠x∈X ⇒ sup |f(x)| <∞ mit dem Supremum über 0≠x∈X und |x| = 1.

Ich habe keine Ahnung, wie ich das beweisen soll. Für mich scheint das trivial, denn wenn |x| = 1, dann ist sup ( |f(x)| / |1| ) <∞ ⇔ sup |f(x)| <∞ mit dem Supremum über 0≠x∈X und |x| = 1.

Reicht das als Beweis?

Ich bin über jede Hilfe dankbar.

Comments

Kann man auch so argumentieren, wenn beim zweiten Supremum nicht auf |x|=1, sondern |x|≤1 eingeschränkt wird?

Answer 1

Es gilt
\(\begin{aligned} \sup _{\mathbf{x}\in X} \frac{\|f(\mathbf{x})\|_{Y}}{\|\mathbf{x}\|_{X}}=\sup _{ \mathbf{\mathbf{x}} \in X}\left\|\frac{f(\mathbf{x})}{\|\mathbf{x}\|_{X}}\right\|_{Y}=\sup _{ \mathbf{x} \in X}\left\|f\left(\frac{\mathbf{x}}{\|\mathbf{x}\|_{X}}\right)\right\|_{Y}=\sup _{\substack{\mathbf{v}\in X \\\|\mathbf{v}\|_{X}=1}}\|f(\mathbf{v})\|_{Y}\end{aligned} \)

denn es ist ja

\(\begin{aligned}\forall \mathbf{x}\in X\colon \left\| \frac{\mathbf{x}}{\left\| \mathbf{x}\right\|_{X} } \right\|_{X}=1\end{aligned}.\)

Es wurde lediglich die skalare Multiplikativität einer Norm und einer linearen Abbildung verwendet.