Funktionsgrenzwert und Integral bestimmen

Question

Aufgabe: Funktionszgrenzwert berechnen

\( \lim\limits_{x\to 0^+} \frac{3}{x^2-16} \)  mal integral von 4 bis x( ln(1-e^4-t+e^{-7\( \sqrt{t} \)-1})dt)

Problem/Ansatz:

Hallo, ich wäre echt froh, wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte: mein Problem ist, dass ich zwar weiß, dass ich den limes reinziehen darf, allerdings hilft mir, dass nicht wenn die Variabel t ist und nicht x.

Das heißt wohl ich muss zuerst integrieren und dann den limes anschauen, allerdings weiß ich nicht wie ich da integrieren soll, mein Ansatz war zunächst ln(x) zu integrieren, dass wäre dann ln(x)*x-x, wenn ich dann aber meinen tatsächlichen Term mit e für, dass x einsetze bekomm ich nur einen langen Term der der darauf hinausläuft, dass ich -16/e¹⁵

+16e¹⁵ bekomme und das wäre 0, was aber nicht sein kann, weil dann der Bruch vor dem limes auch 0 wäre..

Könnte mir vielleicht jemand sagen was ich falsch mache?

Und sorry für die Schreibweise ich hab´s mit Latex versucht aber es interpretiert meine Eingaben falsch bzw. ich screibe es anscheinend falsch auf

Danke im Voraus :)

Comments

Ich sehe übrigens meine Frage wurde bearbeitet, allerdings soll der limes sich nicht 0 annähern, sondern der 4 von rechts. Also  lim x→4 ⁺

Answer 1

Für die Funktion \( f(t) = \ln(1-e^{4-t}+e^{-7 \sqrt{t}-1}) \) ist keine Stammfunktion bekannt. Im Rahmen einer Grenzwertbetrachtung gilt jedoch:

\( \lim\limits_{x\to4+}  \int\limits_{4}^{x} f(t) dt = f(4)*(x-4) \)

mit

\( f(4) = \ln(1-e^{4-4}+e^{-7 \sqrt{4}-1}) = -7 \sqrt{4}-1 = -15 \)

Somit folgt

\( \lim\limits_{x\to4+} \frac{3}{x^2-16}* \int\limits_{4}^{x} f(t) dt = \)

\( \lim\limits_{x\to4+} \frac{3}{x^2-16}*f(4)*(x-4) = \)

\( \lim\limits_{x\to4+} \frac{3}{(x+4)(x-4)}*f(4)*(x-4) = \)

\( \lim\limits_{x\to4+} \frac{3}{x+4}*f(4) = \)

\( \lim\limits_{x\to4+} \frac{-45}{x+4} = \frac{-45}{8}\)

Comments

Damit nicht nur eine obere Abschätzung für den gesuchten Grenzwert herauskommt, solltest du in der ersten Zeile den Mittelwertsatz der Integralrechnung bemühen.

---

Heißt das, ich muss linksseitig noch folgendes aufschreiben: f(x)(x-4)≤ integral f(t)dt

Bzw. dann insgesamt mit Mittelwertsatz:

f(x)(x-4)≤  ∫f(t) dt ≤ f(4)(x-4) ?

---

Danke :) Allerdings hätte ich noch eine Frage und zwar woher weiß ich, dass f(4)(x-4) wirklich größer als das Integral f(t) dt ist?

Dass man mit dem Mittelwertsatz arbeitet ist mir glaube ich klar, aber da die Funktion monoton steigend ist und die 4 die untere Grenze vom Integral ist, müsste doch die obere Grenze x des Integrals mit f(x)(x-4) größer als das Integral sein und f(4)(x-4) kleiner sein?

Die Reihenfolge f(x)(x-4) ≤∫f(t)dt ≤ f(4)(x-4) würde nur Sinn für mich machen, wenn die Funktion f(t) monoton fallend wäre ?

Ich hoffe meine Frage ist verständlich.

Danke im Voraus