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Rotation um die x-Achse.
Der Graph einer Funktion \(y(x)\) wird im Intervall \(x\in[x_1|x_2]\) einmal vollständig um die \(x\)-Achse gedreht. Der Punkt \((x|y(x))\) auf dem Graphen beschreibt dabei ein Kreis mit dem Radius \(r=y(x)\). Der Mittelpunkt dieses Kreises liegt auf der \(x\)-Achse. Die Fläche dieses Kreises ist \(\pi\,r^2\) bzw. \(\pi\cdot [y(x)]^2\).
Um das Volumen \(V_x\) des Rotationskörpers zu erhalten, müssen wir die Flächen aller Kreise von \(x=x_1\) bis \(x=x_2\) addieren. Das geschieht durch Integration. Daher ist:$$V_x=\int\limits_{x_1}^{x_2}\pi\cdot[y(x)]^2\,dx=\pi\int\limits_{x_1}^{x_2}[y(x)]^2\,dx$$
Rotation um die y-Achse.
Der Graph einer Funktion \(y(x)\) wird im Intervall \(y\in[y_1|y_2]\) einmal vollständig um die \(y\)-Achse gedreht. Der Punkt \((x|y)\) auf dem Graphen beschreibt dabei ein Kreis mit dem Radius \(r=x\). Der Mittelpunkt dieses Kreises liegt auf der \(y\)-Achse. Die Fläche dieses Kreises ist \(\pi\,r^2\) bzw. \(\pi\cdot x^2\).
Das Volumen \(V_y\) des Rotationskörpers erhalten wir durch Addition aller dieser Kreisflächen entlang der \(y\)-Achse von \(y_1\) bis \(y_2\):$$V_y=\int\limits_{y_1}^{y_2}\pi\cdot x^2\,dy=\pi\int\limits_{y_1}^{y_2}x^2\,dy$$Du musst hier also nicht \(y(x)\) einsetzen, sondern die Umkehrfunktion \(x(y)\) bilden und diese zum Quadrat genommen einsetzen. Die Integration erfolgt entlang der \(y\)-Achse, also sind die Integrationsgrenzen die jeweiligen \(y\)-Werte von Anfangs- und Endpunkt.
Wenn du die Umkehrfunktion nicht bilden möchtest, weil es vielleicht zu aufwendig ist, kannst du das Integral auch durch Substitution in eine Integral über \(dx\) umformen:$$V_y=\pi\int\limits_{x(y_1)}^{x(y_2)}x^2\,\frac{dy}{dx}\,dx=\pi\int\limits_{x(y_1)}^{x(y_2)}x^2\,y'(x)\,dx$$Die Integrationsgrenzen sind nun die \(x\)-Koordinaten von Anfangs- und Endpunkt und die Integration wird entlang der \(x\)-Achse durchgeführt.
Als Beispiele würde ich \(y=x\) und \(y=x^2\) im Intervall von \(x\in[0;1]\) jeweils um beide Achsen rotieren lassen. Probier es mal. Falls du Schwierigkeiten dabei hast, melde dich einfach nochmal...
