Parameter eines Gleichungssystems berechnen

Question

Aufgabe:

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem mit einem Parameter \( p \in \mathbb{R} \) :

\( \begin{aligned} x+3 y+4 z &=2 \\ -2 \cdot x+8 y &=2 \\ p \cdot x+4 y+8 z &=8 \end{aligned} \)

Geben Sie an, für welche Werte von \( p \) dieses LGS eine eindeutige Lösung besitzt.\( p \neq \) 

Problem/Ansatz:

hey ich habe die folgende Aufgabe angefangen zu rechnen aber ich komme nicht weiter. kann mir jemand erklären wie ich weiter rechnen soll.

was ich gerechnet habe:

\(4\left|\begin{array}{rrr}1 & 3 & 1\\-2 & 8 & 0\\p & 4 & 2\end{array}\right|\)

Answer 1

Aloha :)

Deine Idee ist richtig. Das Gleichungssystem besitzt genau dann eine eindeutige Lösung, wenn die Determinante der Koeffizienten-Matrix \(\ne0\) ist.

Im ersten Berechnungsschritt der Determinante hast hast du den Faktor \(4\) aus der letzten Spalte vor die Determinante gezogen. Das ist völlig ok:$$D=\left|\begin{array}{rrr}1 & 3 & 4\\-2 & 8 & 0\\p & 4 & 8\end{array}\right|=4\left|\begin{array}{rrr}1 & 3 & 1\\-2 & 8 & 0\\p & 4 & 2\end{array}\right|$$

Ich würde jetzt noch das Doppelte der ersten Zeile von der dritten Zeile subtrahieren, damit in der letzten Spalte zwei Nullen entstehen, und dann die Determinante nach der letzten Spalte entwickeln:$$D=4\left|\begin{array}{rrr}1 & 3 & 1\\-2 & 8 & 0\\p-2 & -2 & 0\end{array}\right|=4\cdot(4-8(p-2))=4\cdot(20-8p)=16\cdot(5-2p)$$Für \(p\ne\frac52\) ist die Determinante offensichtlich \(\ne0\).

Daher ist das Gleichungssystem für alle \(p\ne\frac52\) eindeutig lösbar.

Answer 2

Die Determinante ist (16 + 0 + (-8)) - (8p + 0 + (-12)), also 20 -8p.

Es gibt ein p, für das dieser Term 0 wird...

Answer 3

Was du bisher gerechnet hast, ist nicht richtig. Wenn man p wie eine bekannte Zahl behandelt, haben alle Lösungen im Nenner der Faktor p-3. Also muss p≠3 gelten.

Answer 4

Hallo,

falls du nicht weißt, wie man mit Determinanten rechnet, kannst du das Additionsverfahren anwenden.

Eliminiere erst einmal z, indem du die erste Gleichung mit -2 multiplizierst und zur dritten addierst.

(p-2)x -2y = 4

Die zweite Gleichung dividiere ich durch 4

 -2x + 8y =2 → -0,5x + 2y = 0,5

Beide addieren:

(p-2,5)x=4,5

Für p≠2,5 ist x=4,5/(p-2,5).

Das passt zu abakus' Lösung.

:-)