Aloha :)
Die Rotation der Funktion \(y(x)=4e^{3x}\) für \(x\in[0;1]\) um die \(y\)-Achse liefert als Volumen:$$V=\pi\int\limits_{y(0)}^{y(1)}x^2\,dy$$Die Bauern-Methode wäre, dass du die Funktion \(y(x)\) nach \(x\) umstellst, damit du dann \(x^2\) in die Volumenformel einsetzen kannst. Besser ist es hier jedoch eine Substitution durchzuführen, sodass wir über \(dx\) anstatt über \(dy\) integrieren können:$$V=\pi\int\limits_0^1x^2\,\frac{dy}{dx}\,dx=\pi\int\limits_0^1x^2\,\underbrace{y'(x)}_{=12e^{3x}}\,dx=12\pi\int\limits_0^1x^2\,e^{3x}\,dx$$
Das Integral löst du mit doppelter partiellre Integration:$$I=\int\limits_0^1\underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{e^{3x}}_{=v'}\,dx=\left[\underbrace{x^2}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{e^{3x}}{3}}_{=v}\right]_0^1-\int\limits_0^1\underbrace{2x}_{=u'}\cdot\underbrace{\frac{e^{3x}}{3}}_{=v}\,dx=\frac{e^3}{3}-\frac23\int\limits_0^1\underbrace{x}_{=p}\,\underbrace{e^{3x}}_{=q'}\,dx$$$$\phantom{I}=\frac{e^3}{3}-\frac23\left(\left[\underbrace{x}_{=p}\cdot\underbrace{\frac{e^{3x}}{3}}_{=q}\right]_0^1-\int\limits_0^1\underbrace{1}_{=p'}\cdot\underbrace{\frac{e^{3x}}{3}}_{=q}\,dx\right)=\frac{e^3}{3}-\frac23\left(\frac{e^3}{3}-\frac13\int\limits_0^1e^{3x}\,dx\right)$$$$\phantom{I}=\frac{e^3}{3}-\frac23\left(\frac{e^3}{3}-\frac13\left[\frac{e^{3x}}{3}\right]_0^1\right)=\frac{e^3}{3}-\frac23\left(\frac{e^3}{3}-\frac13\left(\frac{e^3}{3}-\frac13\right)\right)$$$$\phantom I=\frac{e^3}{3}-\frac23\left(\frac{e^3}{3}-\frac{e^3}{9}+\frac19\right)=\frac{e^3}{3}-\frac23\left(\frac29e^3+\frac19\right)=\frac{e^3}{3}-\frac{4}{27}e^3-\frac{2}{27}$$$$\phantom I=\frac{5}{27}e^3-\frac{2}{27}=\frac{5e^3-2}{27}$$
Damit ist das gesuchte Volumen:$$V=12\pi\,\frac{5e^3-2}{27}=\frac{20e^3-8}{9}\,\pi$$
